Masa de Komar para un agujero negro en rotación

Question

Masa de Komar para un agujero negro en rotación

pregrado

Estoy tratando de calcular las cantidades conservadas de Komar para agujeros negros que tienen vectores Killing.

Seguí el procedimiento estándar y calculé la masa de Komar para el agujero negro de Reissner-Nordstrom (consulte el archivo adjunto).

Pero no pudo calcular lo mismo para el agujero negro de Kerr-Newman. Aunque en este trabajo el cálculo se realiza a través del método de doble forma. Proporcione su sugerencia.

F (r) = 1 - \frac{2 METRO}{r} + \frac{q^{2}}{r^{2}}

$f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$ Misa de Komar

M_{K}

$M_K$ es dado por:

{METRO}_{k} = \frac{1}{8 π} \oint \nabla_{m} k_{v} d s^{m v}

$M_K=\frac{1}{8\pi}\oint\nabla_{\mu} k_{\nu} ds^{\mu\nu}$

k^{m} = [1, 0, 0, 0]

$k^{\mu}=[1, 0, 0, 0]$

k_{v} = [F (r), 0, 0, 0]

$k_{\nu}=[f(r), 0, 0, 0]$ porque en general

r

$r$ ,

T

$T$ es Minkowski plano,

\nabla_{m} k_{v} \to \partial_{m} k_{v}

$\nabla_\mu k_{\nu}\rightarrow\partial_\mu k_\nu$

\begin{aligned} \partial_{m} k_{v} & = \partial_{r} F (r) \\ = (\frac{\partial METRO}{r^{2}} - \frac{2 q^{2}}{r^{3}}) \end{aligned}

$\begin{align} \\\partial_\mu k_\nu&=\partial_rf(r) \\&=\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg) \end{align}$

\begin{aligned} {METRO}_{k} & = \frac{1}{8 π} \int (\frac{\partial METRO}{r^{2}} - \frac{2 q^{2}}{r^{3}}) \sqrt{{gramo}_{θ θ} {gramo}_{ϕ ϕ}} d θ d ϕ \\ = \frac{1}{8 π} \int (\frac{\partial METRO}{r^{2}} - \frac{2 q^{2}}{r^{3}}) r^{2} pecado θ d θ d ϕ \\ = \frac{1}{8 π} \int_{0}^{π} (\partial METRO - \frac{2 q^{2}}{r}) 2 π pecado θ d θ \\ = METRO - \frac{q^{2}}{r} \end{aligned}

$\begin{align} \\M_K&=\frac{1}{8\pi}\int\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg)\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}}\ d\theta\ d\phi \\&=\frac{1}{8\pi}\int\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg)r^2\sin\theta\ d\theta\ d\phi \\&=\frac{1}{8\pi}\int^\pi_0\bigg(\partial M-\frac{2Q^2}{r}\bigg)2\pi\sin\theta\ d\theta \\&=M-\frac{Q^2}{r} \end{align}$

TimRias

¿Puedes explicar dónde te quedas atascado con Kerr-Newman? ¿Has probado el caso simple de Kerr?

Respuestas (1)

Masa de Komar para un agujero negro en rotación

¿Puedes explicar dónde te quedas atascado con Kerr-Newman? ¿Has probado el caso simple de Kerr?

Yaroslav Shustrov · Answer 1

Me gustaría dividir mi respuesta en 3 partes. Aunque no voy a presentar un cálculo explícito de la masa de Komar para el caso de interés (debido a su considerable extensión), presentaré (lo que espero que sea) pistas y pistas útiles.

Parte I: Otra definición de las cantidades conservadas de Komar

El artículo que ha presentado define las cantidades conservadas de Komar en términos de formas diferenciales, que discutiré en las Partes II y III de esta respuesta.

Las mismas cosas también pueden escribirse mediante notación de índice. Esta definición se puede encontrar en el párrafo 6.4 del libro de Sean Carroll " Spacetime and Geometry ". Lo bueno de este párrafo es que también se puede encontrar una utilización explícita de este enfoque para el agujero negro de Schwarzschild.

La aplicación de este enfoque para el agujero negro de Kerr-Newman parece seguir exactamente los mismos pasos. Debo admitir que no tuve tiempo suficiente para llegar a la respuesta final debido a la longitud del cálculo. Aún así, los cálculos en sí mismos no son tan difíciles. Sólo un montón de derivados.

\begin{matrix} (1) & {mi}_{R} = \frac{1}{4 π GRAMO} \int_{\partial S} d^{2} X \sqrt{γ^{(2)}} \cdot {norte}_{m} σ_{v} \nabla^{m} k^{v}, \end{matrix}

$E_{R} = \frac{1}{4\pi G} \int_{ \partial S} d^2 x \sqrt{\gamma^{(2)}}\cdot n_{\mu} \sigma_{\nu} \nabla^{\mu} K^{\nu} \tag{1} \,,$ dónde:

$S$ es un segmento de tiempo constante tridimensional;
$n_{\mu}$ es un vector unitario ortogonal a él;
$\partial S$ es límite de $S$ ;
$\sigma_{\mu}$ es el vector unitario ortogonal a este límite (en nuestro caso es un vector espacial que mira en dirección radial);
$\gamma^{(2)}$ es métrica inducida en $\partial S .$

Parte II: Equivalencia de dos definiciones

Tenga en cuenta que diferentes fuentes definen las cantidades conservadas de Komar con diferentes coeficientes numéricos delante de la integral. Hablaré de equivalencia de definiciones hasta este coeficiente. También hay ligeras diferencias en la notación para diferentes fórmulas. Sin embargo, quería mantenerlos de la misma forma en que se presentaban en las fuentes.

El artículo mencionado anteriormente da la siguiente definición de las cantidades conservadas de Komar:

\begin{matrix} (2) & k_{ξ_{(t)}^{m}} = - \frac{1}{8 π} \int_{\partial S} * d σ, \end{matrix}

$K_{\xi^{\mu}_{(t)}} = -\frac{1}{8 \pi} \int_{\partial S} * \mathrm{d}\sigma \tag{2} \,,$ dónde:

$\sigma = \xi_{ (t) \mu} \mathrm{d}x^{\mu}$ es una forma de matar el tiempo;
$\xi_{ (t)}^{ \mu}$ es Killing vector cambios correspondientes en la dirección del tiempo.

Antes de profundizar en los detalles del cálculo de la masa de Komar mediante esta fórmula, recomendaría enfáticamente probar la equivalencia de (1) y (2). Aquí hay algunos consejos útiles.

Primero le gustaría revisar el Apéndice E del libro de Sean Carroll " Spacetime and Geometry ". El teorema de Stock allí derivado permite mostrar la equivalencia de (1) y la siguiente expresión:

\begin{matrix} (3) & q_{S} = - \int_{S} * j \end{matrix}

$Q_{S} = -\int_{S} * J \tag{3} \,$ dónde

J

$J$ es la corriente sin divergencia correspondiente a los vectores Killing

j_{R}^{m} = k_{v} R^{m v} = \nabla_{v} \nabla^{m} k^{v}

$J^{\mu}_R = K_{\nu} R^{\mu \nu} = \nabla_{\nu} \nabla^{\mu} K^{\nu}$ la segunda igualdad proviene de la ecuación de Killing, y

R^{μ ν}

$R^{\mu \nu}$ es el tensor de Ricci.

Ahora (3) y (2) son equivalentes (hasta constante) siempre que se cumpla la siguiente expresión (utilice el teorema de Stock para obtenerla):

\frac{1}{2} d (* d σ) = * j .

$\frac{1}{2} \mathrm{d}(*\mathrm{d}\sigma) = *J \,.$

La forma más fácil (al menos para mí) de demostrar que este es el caso era escribir ambos lados explícitamente en notación de coordenadas y compararlos cuidadosamente. En el camino, puede encontrar útil este sitio , página 21 de esta guía y "Exterior derivado" , Wikipedia.

Parte III: Notas sobre el enfoque del artículo

Si, una vez que logró realizar los cálculos de la Parte II, será mucho más fácil seguir el enfoque del artículo . Es cierto que sólo presentan cálculo explícito de $J_{\text{eff}} .$ Sin embargo, si tiene acceso al artículo JM Cohen, F. De Felice, J. Math. física 25, 992 (1984), puede ver que se usa exactamente el mismo enfoque.

Como no sé qué pasos hay que elaborar, daré rienda suelta. Si todavía falta algo, podría editar esta publicación más tarde.

Desde mi punto de vista, una cosa sin explicación fue el cambio de base de 1-formas de $\mathrm{d}t, \, \mathrm{d}r, \, \mathrm{d}\theta, \, \mathrm{d}\phi$ a $\mathrm{d}\hat{\chi}_0 \dots \mathrm{d}\hat{\chi}_3 .$ El motivo es el siguiente. La base original de las formas 1 no es ortogonal (la métrica tiene términos fuera de la diagonal). Una vez que pasamos a la base ortonormal, se vuelve mucho más fácil escribir una expresión explícita para el operador estrella de Hodge.

Todo lo demás parece estar más o menos claro, al menos después de todo el entrenamiento de la Parte II.

Espero que esta información ayude. Si algo no está claro o falta, por favor hágamelo saber.

Por cierto, su enfoque para el agujero negro de Reissner-Nordstrom parece ser equivalente a (1) de mi respuesta. No sé qué te salió mal con eso. Esperemos que el capítulo de Carroll pueda aclarar algunas cosas.

Masa de Komar para un agujero negro en rotación

pregrado

TimRias

Respuestas (1)

Yaroslav Shustrov

Parte I: Otra definición de las cantidades conservadas de Komar

Parte II: Equivalencia de dos definiciones

Parte III: Notas sobre el enfoque del artículo

Yaroslav Shustrov

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