¿Cuál es el significado físico de la conexión Levi-Civita?

Dos razones en las que puedo pensar realmente.

Una es que es la conexión que requiere la menor cantidad de datos extra. Está completamente determinado por la métrica, por lo que no se necesitan datos geométricos adicionales para especificarlo.

Sin embargo, esto no significa que no podamos utilizar ninguna conexión adicional en absoluto, pero considere el hecho de que dado que la diferencia de dos conexiones es un campo tensorial, siempre podemos elegir una conexión como conexión designada y representar cualquier otra conexión que pueda ser necesaria. como campos tensoriales. Entonces, ¿por qué no elegir la conexión que requiere la menor cantidad de variables desconocidas como la conexión designada?

La segunda es que cuando construimos la variedad riemanniana (bueno, pseudo-riemanniana, pero me gustaría ignorar la diferencia ahora) que modela el espacio-tiempo, queremos estar lo más cerca posible de la geometría euclidiana (bueno, la geometría de Minkowski , en realidad), pero aún permite la curvatura.

Ahora, si toma un espacio vectorial (lo que significa que es un "espacio plano"), naturalmente admite la diferenciación de campos vectoriales, por lo que hay una conexión natural en él, que también resulta ser sin torsión. Si coloca cualquier producto interno (algebraico) en el espacio vectorial, que podemos ver como un tensor métrico, esta conexión natural es automáticamente compatible con la métrica. Entonces, la conexión natural en un espacio euclidiano plano es la conexión Levi-Civita de su producto interno de una manera natural .

Además, si tomamos una hipersuperficie incrustada en$n$espacio euclidiano -dimensional, podemos obtener una conexión relativamente natural (aunque aún elegida) en la hipersuperficie, mediante el siguiente algoritmo:

1) Tomar un campo vectorial tangente a la hipersuperficie.

2) Extenderlo arbitrariamente en el vecindario de la hipersuperficie.

3) Diferenciar esta extensión en la dirección de un campo vectorial que es completamente tangente a la hipersuperficie (usando la conexión en el espacio ambiental, obviamente).

4) El campo vectorial resultante será independiente de la extensión, pero no será tangente a la hipersuperficie, así que reste su parte normal para obtener un campo vectorial que en realidad sea tangente a la hipersuperficie.

El operador diferencial que hace este algoritmo es una conexión natural inducida en la hipersuperficie. También resulta ser la conexión Levi-Civita asociada con la métrica inducida en la hipersuperficie.

Estos dos ejemplos muestran que la conexión Levi-Civita aparece naturalmente en la geometría euclidiana, incluidas las hipersuperficies de los espacios euclidianos, por lo tanto, si deseamos construir el espacio-tiempo como algo que es básicamente como el espacio euclidiano, excepto que es curvo, no hay muchas razones para intentarlo. construir más geometrías extrañas que aquellas geometrías no euclidianas que naturalmente aparecen como subvariedades de espacios euclidianos.

Editar : por ejemplo, sobre la base de lo que dijo 0celo7, del espacio euclidiano, sabemos que la línea recta entre dos puntos es la que tiene una longitud extrema.

En la geometría de Riemann, tenemos dos conceptos diferentes de geodésicas. Una que es la curva más recta posible (su vector tangente es paralelo a sí mismo), y otra, que es la curva de longitud extrema/tiempo propio.

El primer concepto depende de la conexión, el segundo de la métrica. Estos dos coincidirán si la conexión es la conexión Levi-Civita.

Y dado que en el espacio euclidiano, los dos coinciden, QUEREMOS construir GR de tal manera que estos dos conceptos también coincidan allí.

Edit2: Pensé un poco en estas cosas, y me gustaría aclarar un poco mi segundo punto.

Lo que tenemos aquí son básicamente dos conceptos diferentes, pero relacionados. Paralelismo y metricidad. La conexión$\nabla$nos da el paralelismo, y la métrica$g$nos da la metricidad.

No debería ser difícil convencerse a sí mismo de que el paralelismo no está directamente relacionado con la metricidad. Tomemos por ejemplo un espacio vectorial arbitrario$V$sobre un campo arbitrario$\mathbb{F}$. Decimos que dos vectores,$x$y$y$son paralelos, si existe tal$\alpha\in\mathbb{F}$escalar que$\alpha x=y$. No hemos puesto ninguna norma o producto interior en este espacio, por lo que no podemos medir ángulos ni distancias. Pero el paralelismo tiene sentido. Es por esto que el espacio vectorial en cuestión admite la diferenciación de forma natural, si además tiene una topología bien comportada, se necesita paralelismo para la diferenciación, y un espacio vectorial lo tiene naturalmente.

Sin embargo, obviamente, el paralelismo se puede comprender en términos de ángulos, por lo que si tiene una métrica que permite la medición de ángulos, también tiene paralelismo. La declaración matemática para esto es exactamente la existencia de la conexión Levi-Civita, una conexión completamente determinada por la métrica.

Obviamente, puedes, matemáticamente hablando, desenredar la noción de paralelismo de la noción de metricidad, introduciendo una conexión completamente arbitraria, pero esto dará como resultado geometrías completamente extrañas que no coinciden en absoluto con lo que vemos en el mundo real que nos rodea.

Es posible que tampoco veamos de inmediato la no euclidiana, pero solo porque permitimos geometrías curvas, no significa que debamos descartar todas las demás propiedades geométricas previamente establecidas del espacio-tiempo (es decir, que el paralelismo está determinado por la metricidad) porque hicimos una modificación .

Creo que ayuda estudiar viejos libros de geometría diferencial como Kreyszig para ver el desarrollo de Levi-Civita, en oposición al formalismo moderno, ya que muestra explícitamente que las derivadas simples de tensores no se transforman como tensores, es por eso que necesita la derivada covariante . Esa es una parte esencial de la definición de la derivada covariante (conexión). No me gusta la formulación matemática que ahora se está popularizando. Proporciona atajos, pero creo que oscurecen la motivación y el propósito de la geometría.

Pero para responder a su pregunta, se necesita el hecho crucial de que los productos internos de los vectores deben conservarse a medida que los transporta por el espacio, es decir, la derivada del producto interno se desvanece. Infinitesimalmente, el tensor métrico es el producto interno de los vectores que definen el espacio en el que está trabajando, por lo que, naturalmente, desea que desaparezca la derivada covariante del tensor métrico. Eso define la propiedad del transporte paralelo. Esa propiedad le dará la conexión Levi-Civita. Esencialmente, el significado físico de la conexión Levi-Civita es que brinda la capacidad de diferenciar tensores según la geometría natural del espacio curvo, que se define por el transporte paralelo. Estas circunstancias son equivalentes a sus geodésicas, pero la desaparición de la métrica por la derivada covariante es la versión local,

Se utiliza una conexión en un colector para propagar tramas; más precisamente, podemos transportar en paralelo un marco a lo largo de un camino que conecta dos puntos, digamos$p,q$.

Esto da un mapa entre todos los marcos en p , a todos los que están en q ; y resulta que este mapa es lineal.

Pero, ¿es suficiente la linealidad?

Bueno, recordemos aquí la primera ley de Newton: un cuerpo está en movimiento uniforme en línea recta cuando no está sujeto a ninguna fuerza; en GR, generalizamos recto (en espacio euclidiano o plano) a geodésico en (espacio curvo).

Entonces, la primera ley se generaliza en GR a: el transporte paralelo a lo largo de una geodésica debería significar que físicamente nada cambia, esto generaliza el movimiento inercial, y también lo es el principio de equivalencia.

Pero en realidad no es un 'espacio curvo' sino un espacio-tiempo curvo.

Físicamente esto significa que no hay distorsiones locales de longitud o tiempo; por lo que requerimos la métrica$g$debe conservarse, es decir, requerimos una isometría; y resulta que el mapa de arriba es una isometría cuando la conexión es una conexión Levi-Cevita.