¿Por qué es estable un circuito pasivo lineal, es decir, por qué su respuesta de impulso se aproxima a cero con el tiempo?

Esta es una pregunta tonta porque la respuesta puede ser obvia, pero todavía tengo mis dudas.

Si se da un circuito compuesto solo de resistencias, inductores y capacitores, si su respuesta de impulso decae con el tiempo, debería haber exponentes negativos en esa respuesta. Pero eso significa que las raíces complejas del polinomio característico deben tener partes reales negativas (o cero). Supuse que esto se debía a que el polinomio característico tiene coeficientes positivos, pero luego descubrí que no todos los polinomios con coeficientes positivos no tienen partes reales positivas en sus raíces. Por ejemplo, eche un vistazo a s 5 + s 4 + s 3 + s 2 + s + 1 .

Sé que puede haber alguna explicación física para esto, aunque lo estoy viendo desde un punto de vista matemático.

Interesante pregunta. +1
Solo una objeción sobre el título de la pregunta: la pregunta es realmente sobre circuitos que contienen solo componentes pasivos , sean o no lineales. Hay circuitos activos lineales donde la respuesta de impulso no decae (al menos, hasta que la amplitud de la señal en un circuito real aumenta hasta el punto en que la respuesta ya no es lineal); por ejemplo, muchos circuitos osciladores funcionan con un comportamiento de circuito lineal.

Respuestas (4)

En un circuito que se compone solo de Ls, Cs y Rs...

Un impulso de entrada almacenará energía en Ls y Cs. La energía almacenada se disipará en las Rs y tenderá a cero con el tiempo.

Por el contrario, si no hay Rs, no hay medios de disipación, entonces la energía permanecerá almacenada y la respuesta de impulso durará indefinidamente.

La mejor respuesta, en mi humilde opinión. Las matemáticas son una herramienta muy útil, pero no es la única herramienta en la caja. Cuando un simple argumento basado en la conservación de la energía responde una pregunta sobre ingeniería eléctrica , las matemáticas avanzadas son una exageración.
Este argumento de conservación combina muy bien con la respuesta de jonk; da una razón teórica a prueba de balas por la que debería ser imposible formar un circuito con ciertas funciones de transferencia usando solo componentes pasivos.
@alephzero También fue la primera respuesta que se me pasó por la cabeza, y estoy de acuerdo en que la respuesta de Neil es buena. El OP escribió específicamente: "Sé que podría haber alguna explicación física para esto, aunque lo estoy viendo desde un punto de vista matemático". Debido a esa declaración, sugiriendo que el OP estaba buscando una inconsistencia matemática con la realidad, tomé la decisión de evitar ese argumento.
@jonk Exactamente, pero resulta que a veces, cuando las leyes de la física responden a una pregunta, probar a través de las matemáticas ya no es la mejor opción (en otras palabras, me he rendido).

Sospecho que el problema puede provenir del requisito de un dominio imposible para valores de componentes pasivos. Su ecuación característica se descompone (como estoy seguro de que ya sabe) en: ( s + 1 ) ( s 2 + s + 1 ) ( s 2 − s + 1 ) . Los primeros dos factores ciertamente se pueden formar con componentes pasivos. Pero el último término parece requerir un componente de valor negativo.

¿Puedes encontrar algún arreglo de circuito pasivo donde la ecuación característica sea s 2 − s + 1 ?

Bien, ¿eso significa que todos los polinomios característicos que se derivan de los arreglos de circuitos pasivos son de alguna manera únicos, de modo que no toman esta forma imposible?
@mjtsquared Si encuentra una instancia que ilustre este formulario, ciertamente estaría interesado. Si revisa una respuesta que escribí aquí , puede ver la extracción de una de esas ecuaciones características. Averigüe cómo lo desarrollé y vea si puede ver algún posible reordenamiento que podría lograr una ecuación tan característica, incluso en teoría. Estaria interesado.
@mjtsquared Podría desarrollar trivialmente un circuito de este tipo si pudiera encontrar un valor de resistencia negativo. De hecho, si tuviera que establecer L = 1 , C = 1 , y R = − 1 aquí entonces se demostraría su ecuación característica. Pero el rango de dominio de los valores de los componentes tiende a estar limitado a valores no negativos para un sistema pasivo. (Ciertamente, con un sistema activo podría lograrse).
Si bien conducirá al mismo resultado, la versión rigurosa de su respuesta es en realidad más complicada. ¿Puedes diseñar un circuito usando solo componentes RLC (con o sin valores negativos) con la función de transferencia? 1 / ( ( s + 1 ) ( s 2 + s + 1 ) ( s 2 − s + 1 ) ) ? Cada componente en el sistema influirá en cada polo o cero en el sistema, y ​​puede que no sea obvio que los polos permanezcan en el lado izquierdo del plano complejo (lo hacen) al agregar un componente con valor positivo.

La respuesta simple está relacionada con el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Esto significa que simplemente no importa cómo terminen los términos del polinomio siempre que todas las raíces tengan una parte real negativa. Solo satisfaciendo este criterio, la respuesta al impulso decaerá en el tiempo.

Eso es interesante. Parece que responder a esta pregunta es algo para lo que tendría que estudiar teoría de control.
@mjtsquared No necesariamente, podría ser solo procesamiento de señal (analógico o digital, pero analógico en este caso), pero no necesariamente todo (dominio enorme), principalmente filtrado básico.
He estado haciendo muchos ejemplos últimamente y parece que todos pasan el criterio (como era de esperar), aunque todavía no puedo encontrar ninguna generalidad. Estoy empezando a plantear la hipótesis de que tiene que haber algo en KCL y KVL que permita que esto suceda.
Neil_UK y jonk tienen buenas respuestas: con solo elementos pasivos es imposible tener partes reales positivas en las raíces. Con elementos activos, o digitales, la cosa cambia. Por ejemplo, es fácil hacer resistencias negativas (analógicas), o forzar los polos del lado derecho directamente en la función de transferencia (digital), y otras cosas. A menos que alguien venga con la equivalencia de antimateria como antiinductancia, anticapacitancia o antiresistencia, me temo que el polinomio que muestra en su pregunta es imposible de lograr (nuevamente, solo con pasivos).

"Supuse que esto se debía a que el polinomio característico tiene coeficientes positivos, pero luego descubrí que no todos los polinomios con coeficientes positivos no tienen partes reales positivas en sus raíces".

En una nota al margen, creo que esto se refiere a la regla de signos de Descartes .

  1. Cuando un polinomio se ordena por exponente descendente, entonces el número de raíces positivas es igual al número de diferencias de signo entre coeficientes consecutivos distintos de cero, o es menor por un número par.

  2. El número de raíces negativas se puede encontrar cambiando el eje real. Esto se hace invirtiendo el signo de todos los términos impares.

El truco aquí es que las raíces tienen que ser reales . Entonces esto significa que la regla en realidad es:

Todos los coeficientes tienen el mismo signo. ⇔ Todas las raíces reales (si las hay) son negativas

El ejemplo que se dio tiene raíces complejas, por lo que la regla no se aplica a ellos. Sin embargo, las raíces reales en el ejemplo son negativas ( s = − 1 ).

La regla de los signos de Descartes solo funciona para raíces reales y esa es la parte fácil. Me refiero a las partes reales de raíces potencialmente complejas del polinomio característico.
Mi respuesta pretendía acompañar su declaración: "Supuse que esto se debía a que el polinomio característico tiene coeficientes positivos, pero luego descubrí que no todos los polinomios con coeficientes positivos no tienen partes reales positivas en sus raíces". Puede ayudar a otras personas que tropiezan con esta pregunta.
¿Por qué es estable un circuito pasivo lineal, es decir, por qué su respuesta de impulso se aproxima a cero con el tiempo?
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