¿Por qué el potencial químico es μ=0 cuando se calcula la temperatura crítica de los BEC?

Para determinar el límite superior del potencial químico de un gas de$\mathcal N$bosones, observe la forma de la distribución de Bose en el gran conjunto canónico con$\langle N \rangle = \mathcal N$. Cuando se usa el GCE, es más fácil trabajar con potencial químico$\mu$y luego elegir$\mu(\mathcal N)$de modo que$\langle N\rangle(\mu)=\mathcal N$. Cada Estado$s$tiene ocupación media

$$\langle n_s\rangle=\frac{\sum_{n\geq 0} ne^{-\beta n(\epsilon_s-\mu)}}{\sum_{n\geq 0} e^{-\beta n(\epsilon_s-\mu)}}=\frac{1}{\Xi_s}\frac{\partial}{\partial(\beta\mu)}\Xi_s,\quad \Xi_s=\frac{1}{1-e^{-\beta(\epsilon_s-\mu)}},\\ =-\partial_{(\beta\mu)}\log(1-e^{-\beta\epsilon_s+(\beta\mu)})=\frac{e^{\beta\mu}}{1-e^{-\beta(\epsilon_s-\mu)}}.$$ Esto es finito mientras $\mu<\epsilon_s$. Para poder $\langle N\rangle=\sum_s \langle n_s\rangle$para ser finitos necesitamos $\mu<\min_s \epsilon_s=\epsilon_0$. Por lo tanto, para cualquier sistema de bosones donde $N$se conserva tenemos $\mu<\epsilon_0$. Es convencional establecer $\epsilon_0=0$por simplicidad, pero puede tener sistemas con $\epsilon_0\neq 0$. Como insinuó en su pregunta final, en estos sistemas el valor crítico de $\mu$es $\epsilon_0$en el límite termodinámico, con $N, V, E\rightarrow \infty$y $\mu, p, T$Permanece constante. Por supuesto, si el sistema no tiene fase BEC entonces como $T\rightarrow 0$, el potencial químico $\mu$nunca excede algún valor $\mu_\max<\epsilon_0$.