¿Por qué el potencial químico de los bosones que no interactúan es negativo?

Question

¿Por qué el potencial químico de los bosones que no interactúan es negativo?

Alexey Sokolik

Se sabe que el potencial químico de los bosones que no interactúan es negativo porque la distribución de Bose-Einstein $[e^{(\epsilon-\mu)/T}-1]^{-1}$ debe estar libre de singularidades. Sin embargo, no entiendo completamente cómo se conecta con la definición termodinámica. $\mu=\partial E/\partial N$ de potencial químico como la energía mínima requerida para agregar una partícula extra al sistema. Considere los números medios de ocupación $\{n_i\}$ , entonces

norte = \sum_{i} {norte}_{i}, mi = \sum_{i} ϵ_{i} {norte}_{i} y {norte}^{'} = \sum_{i} {norte}_{i}^{'}, {mi}^{'} = \sum_{i} ϵ_{i} {norte}_{i}^{'}

$N=\sum_i n_i,\qquad E=\sum_i \epsilon_in_i\quad\mbox{and}\quad N'=\sum_i n'_i,\qquad E'=\sum_i \epsilon_in'_i$ antes y después de añadir una partícula extra. Si

Δ n_{i} = n_{i}^{'} - n_{i}

$\Delta n_i=n_i'-n_i$ , entonces

Δ norte \equiv {norte}^{'} - norte = \sum_{i} Δ {norte}_{i}, Δ mi \equiv {mi}^{'} - mi = \sum_{i} ϵ_{i} Δ {norte}_{i} .

$\Delta N\equiv N'-N=\sum_i\Delta n_i,\qquad\Delta E\equiv E'-E=\sum_i \epsilon_i\Delta n_i.$ Desde

Δ N = 1

$\Delta N=1$ , tenemos

Δ mi ⩾ min (ϵ_{i}) \sum_{i} Δ {norte}_{i} = min (ϵ_{i}) ⩾ 0.

$\Delta E\geqslant\min(\epsilon_i)\sum_i\Delta n_i=\min(\epsilon_i)\geqslant0.$ Entonces obtenemos

Δ E ⩾ 0

$\Delta E\geqslant0$ por eso

μ

$\mu$ no debe ser negativo.

Se podría argumentar que deberíamos trabajar en un conjunto canónico donde $\mu=\partial F/\partial N$ , $F$ es la energía libre. Sin embargo, podemos considerar, por ejemplo, la $(N,V,S)$ conjunto, donde $dE=TdS-pdV+\mu dN$ , entonces $\mu$ es todavía $\partial E/\partial N$ . Supongo que es posible agregar una partícula extra de tal manera que $S$ no cambiará.

Entonces, ¿por qué el potencial químico de los bosones que no interactúan es negativo a pesar de que se necesita energía no negativa para agregar una partícula al sistema?

marzo

Consulte este documento para obtener una comprensión intuitiva del potencial químico de los gases de Bose (y los gases de Fermi y los gases ideales). Por lo general, está detrás de un muro de pago, pero por el momento, puede obtener acceso gratuito a estas revistas si crea una cuenta.

anomalía quiral

Como se explica en el documento que citó @march, la relación

d E = T d S - p d V + μ d N

$dE=T\,dS-p\,dV+\mu\,dN$ dice que

μ

$\mu$ describe el cambio de

E

$E$ cuando

S

$S$ y

V

$V$ está arreglado. ¿Tiene cuidado de mantener fija la entropía cuando calcula el cambio de energía debido a la adición de una partícula (como mencionó cerca del final)? En particular, ¿está utilizando esta condición para restringir el

Δ n_{i}

$\Delta n_i$ ?

Respuestas (1)

¿Por qué el potencial químico de los bosones que no interactúan es negativo?

Consulte este documento para obtener una comprensión intuitiva del potencial químico de los gases de Bose (y los gases de Fermi y los gases ideales). Por lo general, está detrás de un muro de pago, pero por el momento, puede obtener acceso gratuito a estas revistas si crea una cuenta.
Como se explica en el documento que citó @march, la relación $dE=T\,dS-p\,dV+\mu\,dN$ dice que $\mu$ describe el cambio de $E$ cuando $S$ y $V$ está arreglado. ¿Tiene cuidado de mantener fija la entropía cuando calcula el cambio de energía debido a la adición de una partícula (como mencionó cerca del final)? En particular, ¿está utilizando esta condición para restringir el $\Delta n_i$ ?

SuperCiocia · Answer 1

tienes razón en eso $\mu = \partial U/\partial N$ , pero las derivadas parciales significan que:

m = {(\frac{\partial tu}{\partial norte})}_{S, V},

$\mu = \left (\frac{\partial U}{\partial N} \right )_{S, V},$ es decir, entropía constante .

Para los gases cuánticos degenerados, donde la ocupación del estado y el número de partículas son comparables, no puede asumir que su entropía se mantiene igual.

Un mejor punto de partida es la energía libre. $F = U - TS$ , a partir de la cual se puede definir:

m = {(\frac{\partial F}{\partial norte})}_{T, V},

$\mu = \left (\frac{\partial F}{\partial N} \right )_{T, V},$ por lo que la entropía no necesita ser constante.

En este contexto, esencialmente, el potencial químico $\mu$ es el cambio en la energía libre de Helmholtz cuando se agrega una partícula al sistema.

Agregar una partícula a una temperatura particular aumenta la energía interna $U$ , pero esta partícula adicional también da como resultado muchos más arreglos posibles de las partículas en el sistema, lo que a su vez aumenta la entropía $S$ .

Para bosones que se acercan a la transición BEC: en la fase térmica, el cambio de entropía es mayor que el término de energía, por lo que el potencial químico es negativo $\mu < 0$ .

Esto está de acuerdo con el argumento "matemático" de asegurarse de que la función de ocupación bosónica permanezca física, es decir $f(E) > 0$ . La ocupación de los bosones

F (mi) = \frac{1}{{mi}^{\frac{mi - m}{k_{B} T}} - 1}

$f(E) = \frac{1}{\mathrm{e}^\frac{E-\mu}{k_{\mathrm{B}}T}-1}$ tiene que ser positivo, lo que significa que

E - μ ⩾ 0 \forall E

$E-\mu \geqslant 0 \quad \forall E$ . Así que si arreglas

μ

$\mu$ y elige tu energía base para ser

E_{0} = 0

$E_0 = 0$ , entonces

μ ⩽ 0

$\mu \leqslant 0$ .

Así que su declaración es que no podemos cambiar $N$ con la retención de la misma $S$ en el $(N,V,S)$ ¿conjunto? Me parece muy raro porque en este caso $N$ y $S$ no pueden tratarse como variables termodinámicas independientes, por lo que la derivada $(\partial E/\partial N)_{S,V}$ es indefinido y el $(N,V,S)$ conjunto no existe en absoluto.
Probablemente puedas cambiar $N$ mientras se mantiene $S$ arreglado, pero luego necesita algo más además de agregar partículas, para compensar esto. Por lo tanto, no puede identificar fácilmente el potencial químico como el cambio de energía interna por partícula añadida.

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Alexey Sokolik

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Alexey Sokolik

SuperCiocia

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