¿Por qué el ojo de un ciclón es un vórtice forzado?

Question

¿Por qué el ojo de un ciclón es un vórtice forzado?

vórtice
Física
dinámica de fluidos
ciencia-atmosferica

Si Chen

Según tengo entendido, un vórtice forzado tiene un perfil de velocidad $u \propto r$ ( $r$ es la distancia radial desde el centro del vórtice), concluyendo en algún límite exterior $r=R$ para evitar que las partículas fluidas viajen a una velocidad infinita. En este límite exterior, requiere que se suministre constantemente un par externo para continuar. Por ejemplo, el vórtice que se forma cuando un cilindro con fluido en su interior gira hasta una velocidad angular constante es un vórtice forzado; el cilindro debe recibir un par constante para que su rotación no disminuya debido al esfuerzo cortante del fluido.

Sé que, empíricamente, el perfil de velocidad del vórtice forzado se mantiene para el ojo de un ciclón. Pero lo que no entiendo es: ¿qué proporciona el par que mantiene el ojo girando? ¿O he entendido totalmente mal lo que significa vórtice forzado?

Respuestas (2)

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Ciclón · Answer 1

Evidencia empírica:

En primer lugar, para fijar nuestras ideas, supongo que estás hablando de un perfil de viento tangencial que se parece a esto:

$\phantom{texttexttexttexttexttexttexttexttextte}$

El gráfico muestra el perfil de viento tangencial (promediado azimutalmente, es decir, promediado a lo largo de círculos) en función del radio a una altura fija. Mirando esta imagen, uno recuerda naturalmente a un vórtice de Rakine , que consiste en un núcleo de vórtice forzado rodeado por un vórtice libre. Usted dijo:

[...] un vórtice forzado tiene un perfil de velocidad u∝r (r es la distancia radial desde el centro del vórtice), concluyendo en algún límite exterior r=R para evitar que las partículas de fluido viajen a una velocidad infinita. En este límite exterior, requiere que se suministre constantemente un par externo para continuar.

La idea errónea aquí es que en un ciclón tropical, no hay un límite sólido (ni efectivamente sólido) en el punto donde el vórtice "forzado" pasa a la parte "libre". No hay pared que imparta impulso al fluido por fricción de pared como en el cilindro.

Entonces, ¿por qué el aire gira en un ciclón?

Porque es un sistema de baja presión. En una buena aproximación (suponiendo que podemos despreciar la fricción), existe un equilibrio de fuerzas entre la fuerza del gradiente de presión, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga:

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{ρ} \frac{\partial pag}{\partial r} + F v + \frac{v^{2}}{r} = 0, \end{matrix}

$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}+fv+\frac{v^2}{r} = 0, \tag 1$

donde denoto por $v$ la velocidad tangencial y $f$ es el parámetro de Coriolis. Puede resultarle interesante que el equilibrio aproximado (1) se desprenda de un análisis a escala de la ecuación radial de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas. El equilibrio (1) a menudo se denomina "equilibrio de viento de gradiente". De (1) es claro que en un sistema de baja presión ( $\frac{\partial p}{\partial r}<0$ ), habrá movimiento ciclónico ( $v>0$ ) para mantener el equilibrio, de ahí el nombre de 'ciclón' para los sistemas de baja presión.

Entonces, hablando claramente, el ciclón tropical no debe (o no puede) compararse con el agua en un tanque cilíndrico giratorio que se mantiene en rotación de cuerpo sólido por un par externo en el cilindro. Más bien, el aire gira debido al déficit de presión entre el medio ambiente y el ojo del ciclón. Por lo tanto, la cuestión de qué proporciona el par en el "límite exterior" para mantener la rotación del cuerpo sólido es engañosa porque no existe tal límite en un ciclón.

Por qué el perfil de viento de un ciclón tropical es más complicado que un vórtice de Rankine:

El modelo de vórtice de Rankine (al igual que los modelos de vórtice libre y forzado individualmente) describe un vórtice con simetría de eje en un fluido bidimensional (todo el movimiento ocurre en el plano horizontal y el movimiento es independiente de z). Un ciclón tropical real no es exactamente simétrico y, lo que es más importante, es una estructura de flujo tridimensional. Antes de continuar, permítanme decir algunas palabras sobre cómo se ve esa estructura:

$\phantom{texttettexttextte}$

Debido a la baja presión en el centro del ciclón, el aire se pone en movimiento circular según (1). Sin embargo, hay una capa cercana a la superficie llamada 'capa límite planetaria' donde el equilibrio (1) se rompe por efectos de fricción. Aquí, el flujo ya no tiene un radio constante sino que tiene un componente que apunta de alta a baja presión (es decir, un componente radial). Las masas de aire convergen en el centro del ciclón y, por lo tanto, se ven obligadas (por la conservación de la masa) a moverse hacia arriba en la llamada pared del ojo. A medida que el aire asciende, el vapor de agua se condensa, liberando calor latente y dando a las parcelas de aire mayor flotabilidad para que puedan seguir ascendiendo hasta la tropopausa. esto ilustra el hecho de que la tridimensionalidad junto con los efectos termodinámicos hacen del ciclón un problema más complicado que los vórtices forzados o libres teóricos.

Una primera (intento) de explicación:

No obstante, podemos explicar por qué el perfil de velocidad se ve así. Para empezar, recordemos que las cantidades conservadas (incluso aproximadamente) son útiles cuando se trata de entender problemas de física, así que veamos si podemos encontrar una aquí. El componente azimutal de las ecuaciones NS en polares cilíndricas dice:

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{r} \frac{D (v r)}{D t} + F tu = - \frac{1}{ρ r} \frac{\partial pag}{\partial θ} + F, \end{matrix}

$\frac{1}{r}\frac{D(vr)}{Dt}+fu = -\frac{1}{\rho r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + F \tag{ 2},$ dónde

D / D t

$D/Dt$ es la derivada material,

(u, v)

$(u,v)$ son viento radial y azimutal respectivamente,

θ

$\theta$ es el ángulo acimutal y F es la fricción. Definición

M = r v + \frac{1}{2} f r^{2}

$M=rv+\frac{1}{2}fr^2$ , el momento angular absoluto y tratando

f

$f$ como una constante, se sigue de (2) que

\begin{matrix} (3) & \frac{D METRO}{D t} = - \frac{1}{ρ} \frac{\partial pag}{\partial θ} + F r \end{matrix}

$\frac{DM}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial \theta}+ Fr \tag{3}$ Ahora bien, si los efectos de fricción son insignificantes y el flujo es axisimétrico, el RHS se puede establecer en 0 y el momento angular absoluto se conserva materialmente. Ahora, teniendo esto en cuenta, considere un paquete de aire en la atmósfera ambiental que es "succionado" por el ciclón. A medida que el paquete de aire viaja hacia adentro, aproximadamente conservando su momento angular absoluto, su velocidad tangencial

v

$v$ tiene que aumentar. Cuando

M

$M$ está dominado por el

r v

$rv$ término (que es probable porque

f

$f$ es muy pequeño), entonces necesita aumentar aproximadamente como

v \approx \frac{1}{r}

$v\approx \frac{1}{r}$ , es decir, como un vórtice libre (no es esto bonito ^^). Sin embargo, el vórtice libre no puede extenderse hasta

r = 0

$r=0$ , ya que la velocidad tangencial debe ir a cero en el origen debido a los efectos de fricción. Por lo tanto, esperamos que haya un máximo en algún radio finito. La única pregunta que queda es por qué el fluido dentro del ojo está en rotación de cuerpo sólido, o de manera equivalente:

¿Por qué la componente vertical de la vorticidad es homogénea dentro del ojo del ciclón?

Suponiendo que la ejesimetría, esta pregunta es equivalente a su pregunta original porque $v=\omega r \Rightarrow \zeta = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv)}{\partial r} =2\omega = \textrm{const.}$ para $\omega=\textrm{const.}$ Ofreceré dos explicaciones: la primera es más ondulada a mano (y posiblemente no del todo correcta), la otra es más matemática, pero tal vez menos transparente para usted, a menos que tenga tiempo para hacer las matemáticas.

Dado que la velocidad debe llegar a cero entre el radio de viento máximo y $r=0$ , hay una cizalla significativa (lo que significa un gran gradiente de velocidad). Tal flujo de cizallamiento en el ojo puede alimentar la turbulencia de acuerdo con la ecuación de energía cinética de la turbulencia , mire el término "producción de cizallamiento". La difusión turbulenta, a su vez, es un mecanismo por el cual la vorticidad puede homogeneizarse dentro del ojo.

Este argumento es ondulado porque aunque el término de producción de corte en la ecuación TKE es (empíricamente) casi siempre positivo en la atmósfera, es imposible saber si este será el caso aquí ya que no conocemos el signo del remolino. término de correlación. Además, hay muchos otros términos en la ecuación TKE que potencialmente podrían cancelar los efectos de la producción de cizalla.

Más formalmente, podemos hacer lo siguiente: además del balance de gradiente de viento (1) que se mantiene en la horizontal, hay (nuevamente en una buena aproximación) un balance hidrostático en la vertical entre la gravedad y el gradiente de presión vertical: $\begin{matrix} (4) & - \frac{1}{ρ} \frac{\partial pag}{\partial z} - gramo = 0 \end{matrix}$ $-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}-g=0 \tag 4$ .

Basado en estos dos balances, una forma de la primera ley de la termodinámica y dos leyes de conservación, Emanuel (1986) (es un artículo muy famoso en meteorología) derivó (en la página 3 y en la parte superior de la página 4) una ecuación que relaciona M y el distribución de la entropía específica $s$ en el ciclón, su ecuación (13). Al hacer mi proyecto en Imperial, descubrí que la entropía específica a una altura fija sigue muy de cerca una distribución gaussiana:

\begin{matrix} (5) & s (r) = Δ s {mi}^{- r^{2} / (2 λ^{2})} + s_{env}, \end{matrix}

$s(r) = \Delta s e^{-r^2/\left(2\lambda^2\right)}+s_\textrm{env}, \tag 5$ con amplitud

Δ_{s}

$\Delta_s$ , compensar

s_{e n v}

$s_{env}$ y ancho

λ

$\lambda$ . Todavía no se ha explicado teóricamente por qué exactamente tiene esta forma funcional, pero el hecho de que tenga un máximo en/cerca del centro tiene sentido porque la mayor parte del calentamiento diabático debido a la condensación ocurre en la pared del ojo y la entropía está estrechamente relacionada con el calor ( dado que la temperatura no cambia mucho).

(Aparte: de hecho, la entropía debe disminuir monótonamente con el radio; de lo contrario, (13) del artículo de Emanuels implica que el vórtice es " inercialmente inestable ").

Si usa esta distribución gaussiana para resolver (13) del artículo de Emanuel, puede derivar fórmulas para el perfil del viento, el momento angular y las distribuciones de presión (consulte el siguiente artículo del que soy coautor :)). Si quieres puedes comprobar las matemáticas, es álgebra simple. En particular, la distribución de velocidades a altura fija que se obtiene es:

\begin{matrix} (6) & v (r) = \sqrt{2 Δ pag α} \sqrt{\frac{2 λ^{2}}{r^{2}} (1 - {mi}^{- r^{2} / (2 λ^{2})}) - {mi}^{- r^{2} / (2 λ^{2})}} - \frac{1}{2} F r^{2}, \end{matrix}

$v(r) = \sqrt{2\Delta p \alpha}\sqrt{\frac{2\lambda^2}{r^2}\left(1-e^{-r^2/\left(2\lambda^2\right)}\right)-e^{-r^2/\left(2\lambda^2\right)}}-\frac{1}{2}fr^2,\tag 6$

dónde $\Delta p$ es el déficit de presión entre el medio ambiente y el centro del ciclón y $\alpha$ es el volumen específico. En el artículo, mostramos que este perfil es realmente un buen ajuste para los perfiles de viento simulados al resolver las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes usando una supercomputadora.

Expansión de Taylor (6) para radios pequeños y usando eso $f$ término mucho más pequeño que $\frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\lambda}$ para valores de parámetros típicos, da

\begin{matrix} (7) & v (r) = (\frac{\sqrt{Δ pag α}}{\sqrt{2} λ} - \frac{1}{2} F) r + O (r^{2}) \approx \frac{\sqrt{Δ pag α}}{\sqrt{2} λ} r, \end{matrix}

$v(r) = \left(\frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\sqrt{2}\lambda}-\frac{1}{2}f\right) r + O(r^2) \approx \frac{\sqrt{\Delta p \alpha}}{\sqrt{2}\lambda}r,\tag 7$ Este es de hecho un perfil lineal cuya pendiente está gobernada por factores termodinámicos:

d W \equiv Δ p α

$dW \equiv\Delta p \alpha$ es el trabajo realizado por una parcela de aire a medida que se expande durante el flujo de entrada desde la presión ambiental hasta la presión central inferior. En el alcance del modelo se puede demostrar que el radio del viento máximo depende (en buena aproximación) puramente de

λ

$\lambda$ , mientras que el valor del viento máximo se rige por

d W

$dW$ . Por lo tanto, es consistente que la pendiente de

v

$v$ aumenta con el aumento

d W

$dW$ para fijo

λ

$\lambda$ . Sin embargo, la interpretación física del resultado no me queda clara en este momento.

Espero que esto ayude, si tienes más preguntas, házmelo saber e intentaré mejorar mi respuesta.

Si alguien más tiene alguna idea sobre la vorticidad constante en el ojo del ciclón, estaría muy interesado.

EDICIÓN 1: rompiendo las ondas de Rossby fuera de la pared del ojo

Olvidé mencionar en la respuesta anterior otro aspecto dinámico interesante que contribuye a la "agudeza" observada de la transición entre las regiones de vorticidad constante (en el ojo) y la vorticidad variable en el exterior. El flujo de remolino medio en un ciclón tropical proporciona un perfil de vorticidad de fondo en el que se pueden propagar las llamadas " ondas de Rossby de vórtice (VRW)". Dichos VRW pueden alcanzar grandes amplitudes y "romperse" (el término tiene una definición específica en este contexto). Esta ruptura de VRW es muy eficiente para mezclar la vorticidad.(o más precisamente "vorticidad potencial (PV)"). Esto conduce a una intensificación del salto de vorticidad en la pared del ojo y una homogeneización justo fuera de ella (en la llamada "zona de surf") porque un VRW que se rompe mezcla aire de alto PV del interior del ojo con aire de bajo PV del exterior.

EDIT 2: paredes del ojo concéntricas

Puede ser de su interés que el perfil de velocidad al comienzo de esta publicación no siempre está presente en TC. De hecho, existe un fenómeno denominado "pared del ojo concéntrica" o "pared del ojo secundaria", donde se produce un segundo máximo en el perfil de viento tangencial. Esto afecta inmensamente a la estructura de la tormenta, tanto en su extensión horizontal como en su intensidad. Por lo tanto, es un tema importante reproducirlos correctamente en simulaciones de supercomputadoras (por ejemplo, para hacer mejores pronósticos). Esto es solo para ilustrar que hay muchos fenómenos interesantes asociados con los TC :).

EDICIÓN 3: Inestabilidad barotrópica y mezcla de vorticidad potencial dentro del ojo

Una explicación dinámica de por qué la vorticidad es constante. Recientemente aprendí que, desde un punto de vista dinámico, hay una respuesta a por qué la vorticidad en el ojo TC es constante. La explicación es algo así: considere algún perfil de velocidad no lineal cerca del origen, digamos $V\sim x^\alpha$ , $\alpha\neq 1$ .

Si $\alpha<1$ entonces la vorticidad es infinita en el origen, así que excluyamos este caso. Si $\alpha >1$ , entonces el perfil tendrá "forma de U", es decir, la vorticidad será menor en el centro del ojo, luego será grande en una región que se extiende hasta el radio de viento máximo, y será baja fuera del ojo. En otras palabras, hay un anillo de alta vorticidad, en lugar de un disco.

Ahora, la conclusión crítica, respaldada por experimentos numéricos, es que dicho anillo de vorticidad es propenso a un proceso llamado inestabilidad barotrópica que da lugar a perturbaciones (VRW) que crecen en amplitud al quitar energía de una cizalla media. Estas perturbaciones crecientes alcanzan amplitudes finitas y rompen dentro del ojo para mezclar la vorticidad (potencial), mezclándola y homogeneizándola. Vea la Fig. 3 en este artículo de Schubert para una ilustración de lo que quiero decir. Este documento también es genial porque proporciona una derivación de la configuración del vórtice de equilibrio con un método de máxima entropía.

EDICIÓN 4: Encontré un artículo de Glenn Shutts (ahora en MetOffice UK, escrito durante su tiempo en el Imperial College) que explora más la analogía de la bañera y el huracán. Parece que no es muy conocido, pero es una lectura muy interesante.

Pregunta rápida sobre el equilibrio cylostrófico: ¿el equilibrio entre el gradiente de presión y la fuerza centrípeta o la fuerza centrífuga?
Gracias. ¿Qué pasa con mi otra pregunta? ¿Es centrípeta o centrífuga?
Según tengo entendido, la fuerza centrífuga está asociada con un sistema de coordenadas giratorio y, por lo tanto, no es real. La fuerza centrípeta, por otro lado, está asociada con un objeto forzado a moverse alrededor de un círculo y, por lo tanto, es muy real.
physics.stackexchange.com/questions/179176/… entonces, si sigue la respuesta más votada, la fuerza centrípeta está interactuando con una fuerza real, como un gradiente de presión, a diferencia de la fuerza centrífuga.
En primer lugar, formalmente, el término entra como fuerza centrífuga ya que estamos ubicados en un sistema de coordenadas giratorio: la tasa de cambio de tiempo que observamos en un marco de referencia giratorio es diferente de lo que sería en un marco inercial. Esta tasa de cambio de tiempo adicional en el campo de velocidad está dada por las fuerzas de Coriolis y centrífugas. Aquí, la causa de la rotación es simplemente que estamos en el marco de la Tierra, que gira. La verdadera razón por la que rotamos con la Tierra es finalmente la gravedad y la fricción con el suelo, pero eso no nos importa aquí. ¡Es diferente de una masa en una cuerda!

mike dunlavey · Answer 2

La corriente convectiva ascendente en el centro proporciona la energía. La fuente del momento angular es la rotación de la tierra. La corriente ascendente atrae el aire hacia el centro y la conservación del momento angular hace que alcance una velocidad tangencial alta a medida que se reduce el radio.

Gracias por su respuesta. Pero en el ojo del ciclón, el momento angular disminuye con el radio, como dije en mi pregunta original, por lo que no estoy seguro de que su explicación sea la historia completa.

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Si Chen

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Evidencia empírica:

Por qué el perfil de viento de un ciclón tropical es más complicado que un vórtice de Rankine:

Una primera (intento) de explicación:

¿Por qué la componente vertical de la vorticidad es homogénea dentro del ojo del ciclón?

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