¿Por qué el momento angular acorta el radio de Schwarzschild de un agujero negro?

Question

¿Por qué el momento angular acorta el radio de Schwarzschild de un agujero negro?

Dibujó

El momento angular hace que el horizonte de sucesos de un agujero negro retroceda. En el momento angular máximo, $J=GM^2/c$ , el radio de Schwarzschild es la mitad de lo que sería si el agujero negro no estuviera girando.

¿Alguien puede explicar por qué el momento angular reduce el radio de Schwarzschild?

Alan Romero

pregunta interesante... ¿la M en esa expresión incluye su energía de rotación?

Dibujó

@AlanSE No, M es solo la masa del agujero negro. No incluye ninguna energía de rotación.

invierno

Aquí hay un argumento tosco, cualitativo y newtoniano que al menos puede hacerlo plausible: colóquese en un marco de referencia giratorio siguiendo la rotación del BH cerca de

r = r_{s}

$r=r_s$ . Se ve que el BH está en reposo, pero en este marco experimentará una fuerza centrífuga. La fuerza total sobre ti

G M m / r^{2} - m v^{2} / r = G M_{e f f} m / r^{2}

$GMm/r^2−mv^2/r=GM_{\rm eff}m/r^2$ implica que el objeto tiene una masa efectiva más pequeña:

(M_{e f f} - M) / M \sim - \frac{J^{2}}{J_{m a x}^{2}}

$(M_{\rm eff}−M)/M \sim -\frac{J^2}{J^2_{\rm max}}$ y por lo tanto un menor efectivo

r_{s}

$r_s$ . Creo que esto se puede hacer correctamente en GR con aproximadamente el mismo enfoque (marco de referencia giratorio).

Juan Rennie

No estoy seguro de usar el "radio de Schwarzschild" para describir el tamaño del horizonte interior en un agujero negro de Kerr. Eso me parece engañoso, especialmente porque generalmente escribimos

r_{i n n e r}

$r_{inner}$ como una función de

r_{s}

$r_s$ y

J / m c

$J/mc$ .

Motl de Luboš

Estimados @AlanSE y Drew, es problemático decir que la masa incluye la energía de rotación o no. La respuesta depende de otras cosas en su "descomposición" hipotética de la masa total. Es como preguntar si 23 ya incluye 10. Bueno, sí lo incluye si logras escribirlo como 13+10, pero no si es 15+8. ;-) Si dos objetos fijos giran y tienen cierta distancia relativa, tanto su energía cinética como su energía potencial relacionada con el movimiento contribuyen a la energía total, y por lo tanto a la masa, del objeto compuesto. Pero no es fácil "descomponer" un agujero negro de esta manera.

Trimok

Áspero, Cualitativamente, Newtoniano... : Considere que la energía total

E

$E$ del agujero negro es la suma de energías positivas no gravitatorias

E_{N G}

$E_{NG}$ (energía de masa, energía rotacional, energía electrostática), y una energía gravitatoria negativa

E_{G} \sim - G \frac{M^{2}}{R}

$E_G \sim -G\frac{M^2}{R}$ . El agujero negro es un caso límite:

E = 0, R = R_{S}

$E=0, R=R_S$ ; Supongamos que la parte de la energía no gravitatoria está formada por energía de masa + energía de rotación, es decir

E_{N G} = M + E_{R O T}

$E_{NG} = M + E_{ROT}$ esto da

E_{N G} + E_{G} = 0

$E_{NG} +E_G=0$ , eso es

M + E_{R O T} - G \frac{M^{2}}{R_{S}} = 0

$M + E_{ROT} -G\frac{M^2}{R_S}= 0$ , así que cuando

E_{R O T}

$E_{ROT}$ es creciente (a partir de cero), vemos que

R_{S}

$R_S$ está disminuyendo.

ralph berger

Yo tenía una pregunta similar, y encontré esta. Solo señalaría que el radio ecuatorial no está cambiando desde el shchwarzschild

r_{s}

$r_s$ (por varios lugares, incluida la métrica Kerr - Wikipedia y Spinning Black Hole de E. Taylor) por:

R = r_{s} + \sqrt{\frac{r_{s}^{2} - 4 a^{2} c o s^{2} θ}{2}}

$R=r_s+\sqrt{\frac{r_s^2−4a^2cos^2\theta}{2}}$ Donde a es el momento angular/masa y se limita, como máximo, a rs/2. Entonces, ¿por qué el horizonte de eventos se reduce en relación con la no rotación? Algo que cae directamente sobre el polo aparentemente caería más lentamente si el agujero negro está girando. ¿Hay alguna conservación de la energía u otra explicación?

Respuestas (2)

¿Por qué el momento angular acorta el radio de Schwarzschild de un agujero negro?

pregunta interesante... ¿la M en esa expresión incluye su energía de rotación?
@AlanSE No, M es solo la masa del agujero negro. No incluye ninguna energía de rotación.
Aquí hay un argumento tosco, cualitativo y newtoniano que al menos puede hacerlo plausible: colóquese en un marco de referencia giratorio siguiendo la rotación del BH cerca de $r=r_s$ . Se ve que el BH está en reposo, pero en este marco experimentará una fuerza centrífuga. La fuerza total sobre ti $GMm/r^2−mv^2/r=GM_{\rm eff}m/r^2$ implica que el objeto tiene una masa efectiva más pequeña: $(M_{\rm eff}−M)/M \sim -\frac{J^2}{J^2_{\rm max}}$ y por lo tanto un menor efectivo $r_s$ . Creo que esto se puede hacer correctamente en GR con aproximadamente el mismo enfoque (marco de referencia giratorio).
No estoy seguro de usar el "radio de Schwarzschild" para describir el tamaño del horizonte interior en un agujero negro de Kerr. Eso me parece engañoso, especialmente porque generalmente escribimos $r_{inner}$ como una función de $r_s$ y $J/mc$ .
Estimados @AlanSE y Drew, es problemático decir que la masa incluye la energía de rotación o no. La respuesta depende de otras cosas en su "descomposición" hipotética de la masa total. Es como preguntar si 23 ya incluye 10. Bueno, sí lo incluye si logras escribirlo como 13+10, pero no si es 15+8. ;-) Si dos objetos fijos giran y tienen cierta distancia relativa, tanto su energía cinética como su energía potencial relacionada con el movimiento contribuyen a la energía total, y por lo tanto a la masa, del objeto compuesto. Pero no es fácil "descomponer" un agujero negro de esta manera.
Áspero, Cualitativamente, Newtoniano... : Considere que la energía total $E$ del agujero negro es la suma de energías positivas no gravitatorias $E_{NG}$ (energía de masa, energía rotacional, energía electrostática), y una energía gravitatoria negativa $E_G \sim -G\frac{M^2}{R}$ . El agujero negro es un caso límite: $E=0, R=R_S$ ; Supongamos que la parte de la energía no gravitatoria está formada por energía de masa + energía de rotación, es decir $E_{NG} = M + E_{ROT}$ esto da $E_{NG} +E_G=0$ , eso es $M + E_{ROT} -G\frac{M^2}{R_S}= 0$ , así que cuando $E_{ROT}$ es creciente (a partir de cero), vemos que $R_S$ está disminuyendo.
Yo tenía una pregunta similar, y encontré esta. Solo señalaría que el radio ecuatorial no está cambiando desde el shchwarzschild $r_s$ (por varios lugares, incluida la métrica Kerr - Wikipedia y Spinning Black Hole de E. Taylor) por: $R=r_s+\sqrt{\frac{r_s^2−4a^2cos^2\theta}{2}}$ Donde a es el momento angular/masa y se limita, como máximo, a rs/2. Entonces, ¿por qué el horizonte de eventos se reduce en relación con la no rotación? Algo que cae directamente sobre el polo aparentemente caería más lentamente si el agujero negro está girando. ¿Hay alguna conservación de la energía u otra explicación?

fiberto · Answer 1

Abordaré esta pregunta teóricamente, aunque creo que la intuición sigue muy bien. Si hablamos de agujeros negros de Kerr (agujeros negros giratorios descritos por su masa y momento angular, sin parámetros adicionales como carga, etc.), entonces puede mostrar que el radio del horizonte de eventos está dado por

$\boxed{r=M + \sqrt{M^2-a^2}}$

dónde $a=\frac{J}{M}$ .

(Este valor de $r$ se encuentra encontrando dónde explota la métrica de Kerr; por lo tanto horizonte de eventos. De hecho, encontrar dónde explota la métrica implica resolver una ecuación cuadrática, por lo que obtenemos dos valores de $r$ y en los agujeros negros de Kerr tenemos dos horizontes de sucesos; a diferencia de los agujeros negros de Schwarzschild).

Con respecto a su primer punto sobre el momento angular máximo, si establecemos $G=1$ y $c=1$ , el momento angular máximo que indicó está dado por $a=M$ y si reemplazamos esto en nuestra ecuación para $r$ arriba vemos que tenemos

$r=M$ .

Sabemos que el radio del horizonte de eventos en un agujero negro de Schwarzschild (sin rotación) es $r=2M$ . Entonces, podemos ver que en el momento angular máximo, el radio del horizonte de eventos es la mitad de lo que sería si el agujero negro no estuviera girando.

Con este fin, también podemos ver que en momento angular cero, $a=0$ , tenemos

$r=2M$

que es lo que queremos, ya que con un momento angular cero, por supuesto, deberíamos tener el radio de Schwarzschild.

Usando la ecuación encuadrada para $r$ en la parte superior, es fácil probar diferentes valores de $a$ para ver qué sucede con el horizonte de sucesos. Por ejemplo, esta ecuación por sí sola es suficiente para mostrar que para $a>M$ no tenemos un horizonte de eventos, en cuyo caso tenemos lo que se llama "Fast Kerr", que es solo una singularidad sin horizonte de eventos.

No es que los valores complejos para el horizonte no funcionen en la relatividad general, sino que esa ecuación no tiene una solución real. Para $a > M$ , no tienes horizonte. Esas soluciones describen singularidades desnudas, no agujeros negros.
Esto me parece que plantea una pregunta: seguro que la métrica de Kerr tiene puntos críticos en estos valores, que se vuelven más pequeños a medida que aumenta el momento angular... pero , en primer lugar, ¿por qué la métrica tiene estas propiedades y por qué es la correcta ? ¿métrico?

Daniel · Answer 2

Tal vez una respuesta cualitativa motivada por la termodinámica: si deja que su agujero negro gire, reduce la cantidad de simetrías de su sistema, esto disminuirá su entropía $S$ que es proporcional al área de la superficie. Sin embargo, el área de la superficie es sin duda monótona y aumenta con su radio de Schwarzschild, por lo tanto, si rompe las simetrías, $r$ va a disminuir.

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