¿Por qué dos métodos diferentes para calcular la diferencia de trayectoria producen resultados diferentes?

Conceptos de VHC (Física) 17.26

Tenga en cuenta que$\Delta$significa triangulo

Considere una fuente puntual de luz S, que envía dos rayos de luz de longitud de onda$\lambda$(orden de magnitud$10^{-7}$m) - uno al punto O (justo enfrente) y otro al punto P, que está a una distancia$a$(orden de magnitud$10^{-4}$m) desde O. Los puntos O y P se encuentran en una pantalla y el rayo SO es perpendicular (normal) a la pantalla, mientras que el rayo SP forma un ángulo$\theta$con rayo SO. SO =$D$(orden de magnitud$10^{0}$m), tal que$D$>>$a$. Un diagrama de esto se da a continuación:

En la pregunta se da que la diferencia de trayectoria entre los dos rayos es$\frac{\lambda}{4}$(es decir, SP$= D+ \frac{\lambda$}{4}$ $\implies$SP - SO =$\frac{\lambda}{4})$y se nos dice que expresemos$a$en términos de$D$y$\lambda$. Usando dos enfoques diferentes, obtengo dos resultados diferentes.

Enfoque 1: Porque$\Delta$SOP es un triángulo rectángulo y SP es la hipotenusa,

SP =$\sqrt{D^2+a^2}$ $\implies \frac{\lambda}{4} = \sqrt{D^2+a^2} - D \\ \frac{\lambda}{4} = D\sqrt{1+\frac{a^2}{D^2}} - D \\ \frac{\lambda}{4} = D(1+\frac{a^2}{D^2})^{\frac{1}{2}} - D$

Porque$a <<D$,$\frac{a^2}{D^2}$es muy pequeño, lo que significa que$(1+\frac{a^2}{D^2})^{\frac{1} {2}} \approx 1+\frac{a^2}{D^2} \times \frac{1} {2} = 1+\frac{a^2}{2D^2}$

Usando esto,$\frac{\lambda}{4} = D(1+\frac{a^2}{2D^2}) - D \\ \frac{\lambda}{4} = D+ D\frac{a^2}{2D^2} - D \\ \frac{\lambda}{4} = \frac{a^2}{2D} \\ a^2 = \frac{ \lambda \times 2D} {4} \\ a^2 = \frac{ D \lambda} {2} \\ a = \sqrt{ \frac{ D \lambda} {2}}$

Este ($\sqrt{ \frac{ D \lambda} {2}}$) es también la respuesta dada en el libro de texto.

Pero, usando un enfoque que se usa a menudo en preguntas de difracción e interferencia, obtuve una respuesta diferente...

Enfoque 2: $\tan \theta = \frac{a}{D}$Porque$a<<D \implies \tan \theta \ $es muy pequeño. Porque$\tan \theta \ $es muy pequeño,$\tan \theta \approx \theta$

Ahora, se puede construir otro triángulo rectángulo dibujando un segmento de línea (OQ) que sea perpendicular a SP y pase por O:

Del diagrama, se puede ver que$\angle$POQ también es igual a$\theta$. Como$\theta$es tan pequeño,$\angle$SOQ es casi$\frac{\pi}{2}$($90^\circ$), haciendo$\Delta$SOQ casi un triángulo isósceles y haciendo SQ$\approx$SO =$D$. Dado SQ = SO, la diferencia de trayectoria, SP-SO, es igual a QP, es decir, QP =$\frac{\lambda}{4}$

En$\Delta$POQ$\implies \sin \theta = \frac{\left(\frac{\lambda}{4} \right)}{a} \\ \sin \theta = \frac{\lambda}{4a}$

Ahora porque$\theta$es pequeño,$\sin \theta \approx \theta$(Podría haberlo hecho$\sin \theta \approx \tan \theta$en lugar de$\tan \theta \approx \theta$y$\sin \theta \approx \theta$)

$\implies \frac{\lambda}{4a} = \frac{a}{D} \\ \frac{\lambda \times D}{4} = a^2 \\ \therefore a = \sqrt{ \frac{D \lambda}{4} }$

Como ya he mencionado, esta no es la respuesta que se da en mi libro de texto. Aunque hago algunas aproximaciones más en el enfoque 2 que en el enfoque 1, en el que solo hago 1 suposición, vale la pena señalar que muchas de las fórmulas para la interferencia de rendija simple y doble se derivaron usando métodos similares en mi libro de texto.

Como las dos respuestas varían significativamente - por un factor de$\sqrt 2$, ambas respuestas no pueden ser correctas simultáneamente, y no creo que simplemente aproximar más veces en el enfoque provoque tal error. No sé con certeza cuál de los dos enfoques es correcto, aunque la respuesta del libro de texto coincide con la del enfoque 1. Agradecería enormemente una respuesta que aclare qué respuesta es correcta y por qué el enfoque que conduce a la otra respuesta es incorrecto. . Gracias por tu tiempo.