¿Qué punto en un plano reflectante difuso es más brillante para el observador?

Sí, tu análisis es correcto. Tenga en cuenta que la pregunta no es sobre de qué punto el espectador recibe la mayor potencia de luz, sino cuál parece más brillante. La parte de "aparecer más brillante" tiene en cuenta la distancia al espectador. La distancia solo hará que un objeto parezca más pequeño, no diferente en brillo. Por lo tanto, como dijiste, la parte del plano que parece más brillante es la parte más brillante del plano, y les parecerá a todos los observadores que es la parte más brillante del plano.

Agregado:

De los comentarios, está claro que las personas tienen un problema con el "brillo observado" en comparación con la cantidad de luz que llega al observador. Para ser claros, estoy hablando del brillo del objeto enfocado en algún plano de la imagen, como la película o el sensor de una cámara o tu retina. La potencia de la luz que llega al observador se reduce con el cuadrado de la distancia. Sin embargo, la dimensión lineal del objeto enfocado en el plano de la imagen disminuye con la distancia, lo que significa que su área disminuye con el cuadrado de la distancia. Dado que la luz total que incide sobre el observador también se reduce con el cuadrado de la distancia, la proyección enfocada sobre el plano de la imagen permanece con el mismo brillo. No se violaron leyes de conservación ya que la imagen del objeto distante es más pequeña, por lo que la luz total recibida es correcta.

Para una sensación más intuitiva de esto, piense en fotografiar una escena al aire libre a la luz del día. Tienes una persona a 10 pies de distancia y una montaña a 10 millas de distancia, ambas iluminadas por el sol. Aunque la montaña está 5000 veces más lejos, los dos objetos producen aproximadamente el mismo brillo en la película. Si esto no fuera cierto, todas esas fotografías turísticas de alguien con vistas al Gran Cañón serían imposibles.

Creo que la pregunta está redactada con bastante claridad para solicitar este brillo visible aparente, no la potencia de luz total, ya que no es así como percibimos el brillo.

Edición 3: Sí, tienes razón. Para una excelente explicación, consulte la entrada de Wikipedia sobre la ley del coseno de Lambert . Puede ignorar con seguridad el resto de esta respuesta. NOTA: ¡Gracias por la pregunta!

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Edición 1: parece que en esta respuesta razoné que estamos buscando luminancia (aunque no estaba familiarizado con la terminología en ese momento), y ahora que he mirado Wikipedia, sigo pensando que es correcto. Supongo que lo que "deriva" a continuación se acerca bastante o se reduce exactamente al uso de su definición . La respuesta de Olin parece referirse a la luminosidad , y dado que no "derivo" eso, creo que la luminosidad es "incorrecta" para esta situación. :)

Edición 2: Además, tomé tu "un reflejo difuso que dispersa la luz por igual en todas las direcciones" por sentado y refiriéndose a los puntos , aunque parecía un poco extraño. Pero desde que navegué por Wikipedia, me encontré con la ley del coseno de Lambert , que indica que podría tener que leer eso de manera diferente. Corrigiendo por una superficie lambertiana , me temo que Olin podría haber tenido razón todo el tiempo. (Y entonces la pregunta se vuelve casi tautológica, porque los cosenos se anulan por definición, razón por la cual su respuesta es tan corta).

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Voy a tener una oportunidad a medias en esto. Es un poco desordenado, y recomiendo no confiar en él. También muestra cómo puedes arruinar algo que quizás sea tan fácil como Olin lo hace parecer. Quizá esto esté incluso mal...

La longitud del primer tramo desde$(1,10,1)$a$(x,0,z)$es igual

$$d_1=\sqrt{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}.$$

La intensidad de la luz entrante en$(x,0,y)$es proporcional a

$$\frac{1}{d_1^2}=\frac{1}{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}.$$ Note o simplemente asuma* que los puntos cercanos $(x\pm\delta,0,z\pm\varepsilon)$tienen prácticamente la misma intensidad de luz entrante.

La longitud del segundo tramo desde$(x,0,z)$a$(4,6,4)$es igual

$$d_2=\sqrt{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}.$$

La intensidad de la luz recibida desde este punto exacto es proporcional a

$$\frac{1}{d_1^2}\frac{1}{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}=\frac{1}{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}\frac{1}{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}.$$ (Creo que estoy asumiendo algo aquí, pero no estoy seguro de qué).

Pero tenga en cuenta que como$d_2$aumenta, punto ($x,0,z$) se vuelve "más pequeña". Puede interpretar esto como tener que "incluir más puntos"$(x\pm\delta,0,y\pm\varepsilon)$en las inmediaciones (barrio). Pero: ¿ Cuántos puntos más?

Sugiero que eso depende de los ángulos.$\varphi\pm \gamma$entre la línea de$(4,6,4)$a$(x\pm\delta,0,z\pm\varepsilon)$y el$xz$-avión (con$\delta$y$\varepsilon$posiblemente dependientes, porque representan un "cono de visualización").

Entonces, la cantidad de puntos que se incluirán es proporcional al área que consta de todas las intersecciones de todas las líneas desde$(4,6,4)$Para algo$(x\pm\delta,0,z\pm\varepsilon)$y el$xz$-plano con ángulos$\varphi\pm\gamma$. llamemos a esto$A(x,0,z;\gamma)$, porque soy muy malo en trigonometría.

Así, la intensidad final a percibir es proporcional a

$$A(x,0,z;\gamma)\frac{1}{(1-x)^2+10^2+(1-z)^2}\frac{1}{(4-x)^2+6^2+(4-z)^2}.$$

maximizar eso con respecto a$(x,0,z)$. Esto debería darle una respuesta en términos de$\gamma$.

Tome una realista$\gamma$o tomar el límite$\gamma\downarrow0$. (Tomar el límite probablemente justifique la suposición anterior*).