¿Por qué debe ser vvv < c en las transformaciones de Lorentz? ¿Estas ecuaciones no se aplican a la luz? [duplicar]

Para ver lo que pasa, basta con hacerlo en dos dimensiones, con la forma de Lorentz$\pmatrix{-1&0\cr 0&1\cr}$. (he puesto$c=1$.)

El grupo Lorentz es el grupo que conserva esta forma. Un elemento típico es

El subgrupo que conserva la dirección del tiempo es el componente conexo de la identidad, donde el$\pm$signo es positivo. Este subgrupo también se denomina a veces grupo de Lorentz.

Ahora dado un elemento del grupo de Lorentz, podemos definir la velocidad correspondiente como$v=\sin(\theta)$, de modo que$v$está automáticamente (estrictamente) acotado entre$-1$y$1$.

Además de simplemente mirar la transformación de Lorentz, ver una divergencia y concluir "meh, no funciona", otra forma de obtener una idea de la divergencia es a través de la declaración:

ninguna secuencia finita de impulsos finitos te llevará a una velocidad$c$en relación con su marco de inercia inicial .

Imagínese en una nave espacial con controles de orientación y un impulsor tal que pueda acelerarse a cualquier velocidad en un intervalo finito (digamos$[0,\,\Delta v]$con$\Delta v\ll c$) en cualquier dirección en relación con su actual marco de referencia inercial que se mueve momentáneamente en una unidad de tiempo según lo medido por el reloj de su nave espacial a bordo.

Grupo teóricamente, esto es equivalente a la afirmación de que después de la unidad de tiempo, hay alguna vecindad$\mathcal{N}_\mathrm{id}$de la identidad en$SO(1,\,3)$tal que puedo impartir cualquier transformación de Lorentz en ese vecindario para presentar mi marco de referencia. A medida que pasa el tiempo (medido por mi reloj de confianza a bordo), puedo imponer cualquier secuencia de estos miembros del vecindario; la transformación general en relación con mi marco inicial es su producto, por lo que mi transformación general sigue un camino continuo a través de$SO(1,\,3)$. Nuestra declaración inicial es equivalente a:

Ningún miembro del componente relacionado con la identidad de$SO(1,\,3)$corresponde a una velocidad relativa de$c$

(De hecho, esto es cierto, por supuesto, de cualquier miembro de$SO(1,\,3)$, pero el componente de identidad son las transformaciones que podemos alcanzar físicamente sin controles, con suficiente combustible).

En particular, imagine que se dirige en una dirección constante; y cada unidad de tiempo vas a imponer el mismo impulso. Como en la respuesta de WillO , nos concentramos en una dimensión espacial, por lo que nuestro impulso de unidad es:

Lo mismo, finito,$\Delta v$en relación con nuestro marco actual impartido$n$veces más es$\exp\left(n\,\delta \eta\left(\begin{array}{cc}0&+1\\+1&0\end{array}\right)\right)$. Entonces, cuando aceleramos a una velocidad uniforme$\Delta v$por unidad de tiempo por nuestro reloj, por lo que sentimos una fuerza de aceleración constante desde nuestro asiento, un observador en nuestro marco inicial ve como acelerar para que nuestra rapidez $\eta = n\,\delta\eta$cambia por una cantidad$\Delta v/c$en un intervalo de tiempo$\cosh\eta$con respecto a su marco. Entonces, el cambio en la velocidad general entre los dos marcos es

y nuestra aceleración aparente desde nuestro marco inicial es$\Delta v \,\operatorname{sech}^3\eta$; Parece que estamos acelerando cada vez más lentamente, tanto porque es nuestra rapidez, no la velocidad, lo que está cambiando uniformemente con el número de intervalo de impulso y también porque estos intervalos de impulso son cada vez más largos en relación con el marco inicial.

En ninguno de los marcos la diferencia de velocidad general alcanzará alguna vez$c$.

Tenga en cuenta que los argumentos anteriores se aplican incluso si$\Delta v$es una gran fracción de$c$. Cuando$\Delta v\ll c$se cumple la aproximación en (2).

Las transformaciones de Lorentz se aplican a objetos con masa distinta de cero. Para un objeto con masa, requeriría una cantidad infinita de energía para alcanzar la velocidad de la luz.