¿Por qué debe ser verdadera esta afirmación de divisibilidad?

Si $x$ es cualquier número que divide $m$ y $n$ , entonces podemos escribir $m=k_1 x$ y $n=k_2 x$ para $k_1,k_2\in\mathbb{N}$ . Resulta que

$$\begin{align} m-qn &= k_1 x - qk_2 x\\ &= (k_1-qk_2)x \end{align}$$

entonces $m-qn$ también es divisible por $x$ .

Se puede aplicar un razonamiento similar para deducir que cualquier número que divide $n$ y $r$ también debe dividir $qn+r$ . Si ayuda, estos resultados son en realidad casos especiales de un teorema más general:

Si $x$ e $y$ son divisibles por $k$ , entonces para cualquier $a,b\in\mathbb{N}$ , $ax+by$ también es divisible por $k$ .

Hazlo una vez y nunca lo olvides:

De esto deduce que cualquier número que divide tanto a m como a n

Así que sea $k$ ese número. Entonces $k|m$ entonces hay un entero $m'$ tal que $m = km'$ . Y $k|n$ por lo que hay un número entero $n'$ por lo que $n = kn'$ .

también debe dividir m−qn=r.

Ahora tenemos $m = qn +r$ entonces $m-qn = qn -qn +r$ y entonces $m-qn = r$ y $r =m-qn$ .

Bien, entonces $r = m - qn$ pero $m = m'k$ y $n =n'k$ entonces $r = m-qn = m'k - qn'k = k(m' + qn')$ . Y como $(m' + qn')$ es un número entero, hay un número entero, $(m'+qn')$ , de modo que $k(m'+qn') =r$ entonces $k$ divide $r$ .

... De todos modos, el texto asume que está familiarizado con el resultado de que si $k$ divide $a$ y $b$ , entonces $k$ divide cualquier combinación lineal, $wa \pm ub$ , y puede recitarlo y aplicarlo mientras duerme.

De manera similar, también dice que cualquier número que divide tanto a n como a r también debe dividir a qn+r=m, sin mayor explicación.

Similar.

$m = qn +r$ entonces si$j$ divide$r$ y también divide$n$ entonces$j$ dividirá y la combinación lineal será$un \pm wr$ , incluyendo$qn + r$ .

Y para hacerlo explícito, si $j|n$ y $j|r$ hay enteros $n''$ y $r''$ de modo que $n = jn''$ y $r= jr''$ y entonces $m = qn + r = qn''j + r''j = j(qn'' +r'')$ y $j|m$ .