Generalización de "La suma del cubo de 3 enteros consecutivos es divisible por 3"

Dado que esta es una clase de teoría de números de nivel de posgrado, creo que es seguro asumir que está familiarizado con la aritmética de módulo.

Dada cualquier lista de$n$enteros consecutivos,$a, a+1, a+2, \dots, a+n-1$, módulo$n$esta lista es equivalente a$0,1,2,3,\dots,n-1$módulo$n$. (Tenga en cuenta que no estoy diciendo$a \equiv 0 \pmod{n}$). Esta lista se puede reescribir como:

$1 \equiv 1 \pmod{n}$

$2 \equiv 2 \pmod{n}$

$3 \equiv 3 \pmod{n}$

$\dots$

$\dfrac{(n-1)}{2} \equiv \dfrac{(n-1)}{2} \pmod{n}$

$n-1 \equiv -1 \pmod{n}$

$n-2 \equiv -2 \pmod{n}$

$n-3 \equiv -3 \pmod{n}$

$\dots$

$\dfrac{(n+1)}{2} \equiv -\dfrac{(n-1)}{2} \pmod{n}$

Desde$n$es impar, la exponenciación conserva el signo. Y entonces

es equivalente a

módulo$n$, por lo que la suma se convierte en$0$módulo$n$. Tenga en cuenta que el exponente podría reemplazarse por cualquier número entero impar y la declaración aún se mantendrá.

EDITAR: Aquí está el ejemplo que solicitó en los comentarios.

Digamos que tenemos la lista 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, con$n=7$.

Bien, entonces lo primero que haré es encontrar a sus representantes en$\mod 7$entre$0$y$6$inclusivo.

Entonces,

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 se convierte en 5, 6, 0, 1, 2, 3, 4.

Ahora, echemos un vistazo a$(n-1)/2$. Para$n=7$, este número es 3. Ese es el límite para los términos positivos. El resto los convierto en negativos:

$5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$se convierte

$5, 6, 0, 1, 2, 3, 4,$cual es

$7-2, 7-1, 0, 1, 2, 3, 7-3$, que se convierte

$-2, -1, 0, 1, 2, 3, -3$.

Ahora, toma cualquier potencia impar de estos números, suma, obtienes 0 en el módulo 7.

Técnicamente, podría haber ido directamente de la lista original a$-2, -1, 0, 1, 2, 3, -3$, sin pasar por el paso intermedio, pero quería ilustrar cómo se aplica la prueba a este ejemplo en particular.

El módulo de los restos$2k+1$se puede (re)escribir como$0,\pm1,\pm2,\ldots,\pm k$. Al elevarlos cada uno a cualquier potencia impar positiva de nuestra elección, mantendrán su signo, mientras que sus valores absolutos serán iguales por pares, por lo que, en última instancia, su suma será divisible por$n=2k+1$.