Número entero positivo más grande nnn para el cual n3+100n3+100n^3+100 es divisible por n+10n+10n+10

Question

Número entero positivo más grande nnn para el cual n3+100n3+100n^3+100 es divisible por n+10n+10n+10

gcd-y-lcm
Matemáticas
divisibilidad
teoría-de-números-elemental

ABID B1 1152

Problema: ¿Cuál es ese entero positivo más grande $n$ para el cual $n^3+100$ es divisible por $n+10$ ?

La solución del arte de resolver problemas : si $n+10 \mid n^3+100$ , $\gcd(n^3+100,n+10)=n+10$ . Usando el algoritmo de Euclides, tenemos $\gcd(n^3+100,n+10)= \gcd(-10n^2+100,n+10)$ $= \gcd(100n+100,n+10)$ $= \gcd(-900,n+10)$ , entonces $n+10$ hay que dividir $900$ . El mayor entero $n$ para el cual $n+10$ divide $900$ es $\boxed{890}$ ; podemos verificar dos veces manualmente y encontramos que efectivamente $900\mid 890^3+100$ .

Pregunta: ¿Cómo puede $\gcd(n^3+100,n+10)= \gcd(-10n^2+100,n+10)$ $= \gcd(100n+100,n+10)$ ?

sangre de pulga

¿Sabe usted

$\gcd(A,B) = \gcd(A \pm kB, B)$ para cualquier entero

$k$ ?

$n^3+100 = n^3 + 10n^2 - 10n^2 + 100= n^2(n+10) -10n^2 + 100$ entonces

$\gcd(n^3 + 100, n+10) = \gcd(n^2(n+10)-10n^2 + 100, n+10) = \gcd(-10n^2 + 100, n+100)$ .

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Número entero positivo más grande nnn para el cual n3+100n3+100n^3+100 es divisible por n+10n+10n+10

¿Sabe usted $\gcd(A,B) = \gcd(A \pm kB, B)$ para cualquier entero $k$ ? $n^3+100 = n^3 + 10n^2 - 10n^2 + 100= n^2(n+10) -10n^2 + 100$ entonces $\gcd(n^3 + 100, n+10) = \gcd(n^2(n+10)-10n^2 + 100, n+10) = \gcd(-10n^2 + 100, n+100)$ .

milagro173 · Answer 1

El Algoritmo de Euclides utiliza el hecho de que

$\gcd(a,b)=\gcd(a+kb,b)$ Elegimos

$k=-n^2$ para que el

$n^3$ se eliminará el término. Obtenemos

$\gcd(n^3+100,n+10)= \gcd((n^3+100)-n^2(n+10),n+10)$ Entonces tenemos

$=\gcd(-10n^2+100,n+10)$ Ahora quitamos

$n^2$ eligiendo

$k=10n$

$=\gcd((-10n^2+100)+10n(n+10),n+10)$

$=\gcd(100n+100,n+10)$ y ahora para

$k=-100$ obtenemos

$=\gcd((100n+100)-100(n+10),n+10)$

$=\gcd(-900,n+10)$

juliol33t · Answer 2

sabes que $n$ 'actúa como' $-10$ , desde

$n \equiv -10 \quad \text { mod } (n + 10)$ al igual que:

$n^3 + 100 = (n + 10 - 10)n^2 + 100 = \underbrace{(n+10)n^2}_\text{multiple of (n+10)} - 10n^2 + 100$ Podrías 'hacer trampa' y conectarte

$-10$ inmediatamente:

$\gcd(n^3 + 100, n+ 10) = \gcd(-900, n+ 10)$

@ABIDB11152 así: $-10n^2 + 100 = -10(n+10-10)n + 100 = -10n(n+10) + 100n + 100$

Asher2211 · Answer 3

Puede realizar una división larga para obtener el siguiente resultado,

$n^3+100=(n^2-10n+100)(n+10)-900$

$\implies n+10\mid 900$ Por lo tanto el mayor valor de

$n=890$ .

sangre de pulga · Answer 4

$\gcd(A,B) = \gcd(A \pm kB, B)$ para cualquier entero $k$ .

Por ejemplo $\gcd(58, 16) = \gcd(3\times 16 + 10, 16) = \gcd(3\times 16+ 10-3\times 16, 16) = \gcd(10, 16)$ .

......

Entonces $\gcd(n^3 + 100, n+10) = \gcd(n^2(n+10) - 10n^2 + 100, n+10)=$

$\gcd(n^2(n+10) - 10n^2 + 100- n^2(n+10), n+10)=\gcd(-10n^2 + 100, n+10)=$

$\gcd(-10n(n + 10) +100n + 100, n+10) = \gcd(-10n(n+10) + 10n + 100 + 10n(n+10), n+10)=$

$\gcd(10n + 100, n+10)$

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