Números de 666 dígitos formados a partir de los primeros seis enteros positivos tales que son divisibles tanto por 444 como por 333.

Como los dígitos no se repiten, todos$6$se deben usar dígitos. La suma de todos los dígitos es$21$ $(1+2+3+4+5+6)$. Entonces este número es divisible por$3$.

Ahora solo tenemos que comprobar su divisibilidad por$4$.

El número debe terminar con cualquiera de$8$combinación$(12,16,24,32,36,52,56,64)$.

A partir de$4$los dígitos pueden estar en cualquier orden.

Así que cuenta total$= 8*4! = 192$

Ya casi estás ahí. Como dices, sabemos que es divisible por$3$, no importa cómo ordenemos los dígitos, solo tenemos que averiguar si es divisible por$4$, y también tiene un buen comienzo al señalar que solo necesitamos mirar los dos últimos dígitos.

Ahora, claramente el último dígito debe ser par. Y, si es un$2$o un$6$, entonces necesitamos un dígito impar antes, entonces$3$opciones allí, mientras que un$4$como el último dígito necesita un dígito par antes, entonces$2$opciones que quedan para ese. Y ya que sobra$4$los dígitos pueden ser lugares en$4!=24$formas, por lo tanto tienes$(2\cdot 3+2)\cdot 24= 8 \cdot 24= 192$números divisibles por$12$

Por cierto, a) puede resolverse aún más rápidamente señalando que dado que hay tantos dígitos pares como impares, el número de números pares debe ser exactamente la mitad de todos los números, por lo que es$\frac{720}{2}=360$