Divisibilidad de dígitos de números consecutivos

Agregado : he agregado el siguiente reclamo (4):

(4)$d=D\cdot 2^s\cdot 5^t$trabaja donde$s,t$son enteros no negativos, y$D$es tal que hay un entero positivo$m$satisfactorio$10^m\equiv -1\pmod D$.

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Esta es una respuesta parcial.

Esta respuesta prueba las siguientes afirmaciones:

(1)$d$que es tal que existe un entero positivo$m$satisfactorio$10^m\equiv -1\pmod d$obras.

(2)$d=3\cdot 2^s\cdot 5^t$dónde$s,t$son enteros no negativos funciona.

(3)$d=3^2\cdot 2^s\cdot 5^t$dónde$s,t$son enteros no negativos funciona.

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(1)$d$que es tal que existe un entero positivo$m$satisfactorio$10^m\equiv -1\pmod d$obras.

Prueba :

A continuación, permítanme escribir$\overline n\ \overline{n+1}\ \cdots \ \overline{n+k}$como$[n,n+k]$.$\ \ $(Por ejemplo,$[9,12]$representa$9101112$.)

Hay infinitos números enteros positivos$m$tal que

$$10^m\equiv -1\pmod d\tag1$$

Entonces, para cualquier dado$(d,n)$, existe un entero positivo$m$satisfactorio$(1)$y

$$n\lt 10^{m-1}-1\lt 10^{m-1}+2(d-2)-1\lt 10^m\tag2$$

Para enteros no negativos$k$satisfactorio$10^{m-1}+k\lt 10^m$, tenemos

$$[n,10^{m-1}+k]=[n,10^{m-1}+k-1]\times 10^m+10^{m-1}+k$$ Dividiendo ambos lados por$(10^m)^{k}$y dejando$a_k=\frac{[n,10^{m-1}+k]}{(10^m)^{k}}$dar $$a_{k}-a_{k-1}=\frac{10^{m-1}+k}{(10^m)^{k}}$$ $$a_{k-1}-a_{k-2}=\frac{10^{m-1}+k-1}{(10^m)^{k-1}}$$ $$\vdots$$ $$a_{0}-a_{-1}=\frac{10^{m-1}+0}{(10^m)^{0}}$$ Agregar estos da $$\begin{align}a_k&=a_{-1}+\sum_{j=0}^{k}\frac{10^{m-1}+j}{(10^m)^{j}} \\\\&=\frac{[n,10^{m-1}-1]}{(10^m)^{-1}}+10^{m-1}\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{(10^m)^{j}}+\sum_{j=0}^{k}\frac{j}{(10^m)^{j}} \\\\&=10^m[n,10^{m-1}-1]+\frac{10^{m-1}((10^m)^{k+1}-1)}{(10^m)^k(10^m-1)}+\frac{(10^m)^{k+1}+k-10^m(k+1)}{(10^m)^k(10^m-1)^2}\end{align}$$

Multiplicando ambos lados por$(10^m)^k(10^m-1)^2$da

$$(10^m-1)^2[n,10^{m-1}+k]=(10^m)^{k+1}(10^m-1)^2[n,10^{m-1}-1]+10^{m-1}((10^m)^{k+1}-1)(10^m-1)+(10^m)^{k+1}+k-10^m(k+1)$$ Se sigue de$10^m\equiv -1\pmod d$eso $$4[n,10^{m-1}+k]\equiv 4(-1)^{k+1}[n,10^{m-1}-1]+10^{m-1}((-1)^{k+1}-1)(-2)+(-1)^{k+1}+2k+1\pmod d$$

Si$k=2s+1$es impar, entonces tenemos

$$[n,10^{m-1}+2s+1]\equiv [n,10^{m-1}-1]+s+1\pmod d$$

Entonces, tomando$m$satisfactorio$(1)$y$(2)$, obtenemos

$$[n,10^{m-1}+1]\equiv [n,10^{m-1}-1]+1\pmod d$$ $$[n,10^{m-1}+3]\equiv [n,10^{m-1}-1]+2\pmod d$$ $$\vdots$$ $$[n,10^{m-1}+2(d-2)+1]\equiv [n,10^{m-1}-1]+d-1\pmod d$$

Esto implica que existe un número entero$s$satisfactorio$-1\le s\le d-2$y$[n,10^{m-1}+2s+1]\equiv 0\pmod d$.$\quad\blacksquare$

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(2)$d=3\cdot 2^s\cdot 5^t$dónde$s,t$son enteros no negativos funciona.

Prueba :

$d=3$obras. Si$a:=\max(s,t)\ge 1$, entonces$[n,u\cdot 10^a]$es divisible por$2^s\cdot 5^t$. Además, tenemos

$$\small [n,u\cdot 10^a]\equiv \sum_{k=1}^{u\cdot 10^a}k-\sum_{k=1}^{n-1}k\equiv \frac{u\cdot 10^a(u\cdot 10^a+1)}{2}-\frac{(n-1)n}{2}\equiv 2u(u+1)-\frac{(n-1)n}{2}\pmod 3$$

Así que si$n\not\equiv 2\pmod 3$, entonces$u=3n$obras. Si$n\equiv 2\pmod 3$, entonces$u=3n+1$obras.$\quad\blacksquare$

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(3)$d=3^2\cdot 2^s\cdot 5^t$dónde$s,t$son enteros no negativos funciona.

Prueba :

$d=9$obras. Si$a:=\max(s,t)\ge 1$, entonces$[n,u\cdot 10^a]$es divisible por$2^s\cdot 5^t$. Además, tenemos

$$\small [n,u\cdot 10^a]\equiv \sum_{k=1}^{u\cdot 10^a}k-\sum_{k=1}^{n-1}k\equiv \frac{u\cdot 10^a(u\cdot 10^a+1)}{2}-\frac{(n-1)n}{2}\equiv 5u(u+1)-\frac{(n-1)n}{2}\pmod 9$$

• Si$n\equiv 0,1\pmod 9$, entonces$u=9n$obras.

• Si$n\equiv 2,5,8\pmod 9$, entonces$u=9n+1$obras.

• Si$n\equiv 3,7\pmod 9$, entonces$u=9n+2$obras.

• Si$n\equiv 4,6\pmod 9$, entonces$u=9k+3$obras.$\quad\blacksquare$

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Añadido :

(4)$d=D\cdot 2^s\cdot 5^t$trabaja donde$s,t$son enteros no negativos, y$D$es tal que hay un entero positivo$m$satisfactorio$10^m\equiv -1\pmod D$.

Prueba :

De la prueba de la afirmación (1), vemos que si$n\lt 10^{m-1}+k\lt 10^m$y$10^{m}\equiv -1\pmod D$, entonces

$$4[n,10^{m-1}+k]\equiv 4(-1)^{k+1}[n,10^{m-1}-1]+10^{m-1}((-1)^{k+1}-1)(-2)+(-1)^{k+1}+2k+1\pmod D$$

Considerando$k=(20u-2)10^{a-1}$donde tripletes de enteros positivos$(u,a,m)$satisface

$$n\lt 10^{m-1}+(20u-2)10^{a-1}\lt 10^m,$$ $$1+\max(s,t)\le a\lt m,\qquad 10^a\equiv 10^m\equiv -1\pmod D,$$ $$n\lt 10^{m-1}+(20\cdot 1-2)10^{a-1}\lt 10^{m-1}+(20D-2)10^{a-1}\lt 10^m$$ (para cualquier dado$(D,s,t,n)$, semejante$(u,a,m)$existir siempre ya que hay infinitamente muchos$m$satisfactorio$10^m\equiv -1\pmod D$) tenemos $$4[n,10^{m-1}+(20u-2)10^{a-1}]\equiv -4[n,10^{m-1}-1]+4\cdot 10^{m-1}+2(20u-2)10^{a-1}\pmod D$$ Multiplicando ambos lados por$5$y usando$10^a\equiv 10^m\equiv -1\pmod D$dar $$20[n,10^{m-1}+(20u-2)10^{a-1}]\equiv -20[n,10^{m-1}-1]-20u\pmod D$$ Desde$\gcd(D,20)=1$, podemos dividir ambos lados por$20$tener $$[n,10^{m-1}+(20u-2)10^{a-1}]\equiv -[n,10^{m-1}-1]-u\pmod D$$

Entonces, obtenemos

$$[n,10^{m-1}+(20\cdot 1-2)10^{a-1}]\equiv -[n,10^{m-1}-1]-1\pmod D$$ $$[n,10^{m-1}+(20\cdot 2-2)10^{a-1}]\equiv -[n,10^{m-1}-1]-2\pmod D$$ $$\vdots$$ $$[n,10^{m-1}+(20D-2)10^{a-1}]\equiv -[n,10^{m-1}-1]-D\pmod D$$

Esto implica que hay un número entero$u$satisfactorio$1\le u\le D$y$[n,10^{m-1}+(20u-2)10^{a-1}]\equiv 0\pmod d$.$\quad\blacksquare$

El número formado al escribir dígitos de$n, n+1, n+2, \dots, n+k$será de la forma

$$y = c \times 10^{\lfloor \log_{10} (n+k) \rfloor} + (n+k)$$

Denotamos esto como$\langle n, k\rangle$. Si multiplicamos esto por$10^a$, lo denotamos como$\langle n, k\rangle \times 10^a$.

Caso 1:

Si$d | (n+k)$y$d | 10^{\lceil \log_{10} (n+k) \rceil}$entonces$d | y$.

Si$g = GCD(n+k, 10^{\lceil \log_{10} (n+k) \rceil}) \ne 1$, entonces$d \in$el conjunto de divisores de$g$.

Caso 2:

Hay otros$d$que son divisores del MCD de particiones de$y$procedente de las sumas parciales

$$y = \langle n, r \rangle \times 10^{\delta} + \langle r+1, n+k\rangle, n \lt r \lt n+k$$

es decir,

$$g = GCD(\langle n, r \rangle \times 10^{\delta}, \langle r+1, n+k\rangle)$$

Si$g \ne 1, d \in$el conjunto de divisores de$g$.