Perplejo al entender una conferencia de Feynman sobre la fuerza del alambre en el imán

Creo que su análisis es bueno, excepto por su afirmación de que$\bf{B}$está en el$y$-dirección.

Esto es cierto solo para los puntos que están directamente debajo del cable.

La mayoría de los puntos en su bobina no están directamente debajo del cable, están un poco hacia un lado. En tales puntos, el campo magnético del alambre tiene una componente vertical, lo que da una fuerza neta en el$y$dirección cuando se cruza con la dirección actual en esos puntos.

(Por supuesto, también hay ay$component$de B en cada punto de la bobina, pero la fuerza vertical que esto provoca se cancela exactamente por una fuerza opuesta que actúa sobre el punto simétrico.)

Dave, por favor NO ACEPTES mi respuesta.

Suena como una petición extraña, ¿verdad? La respuesta que debe aceptar es la de Paul G, ya que la publicó antes que la mía.

No quiero robarlo, solo dejarlo tal vez un poco más claro. Lo hice en los comentarios, pero será más visible aquí.

Como escribió Paul G, debido a que las líneas de campo son círculos y, por lo tanto, aunque el$y$componente de la$B$El campo debajo del cable es el más grande, hay un pequeño$z$componente en el campo B produjo el cable en la posición de las bobinas (que tienen radio finito), y el signo de este componente es opuesto en lados opuestos de$y=0$plano donde está el alambre. La corriente en las bobinas tiene sentidos opuestos.$x$orientaciones en estos lados opuestos, por lo que el signo relativo con el$z$componente es el mismo por lo que sus productos cruzados (que están en el$y$dirección !) se suman a una fuerza neta en esa dirección.

Por el contrario, el$y$componente de B es el mismo en cada lado, y por lo tanto los productos cruzados (¡mucho más grandes por separado!) con el$x$componentes de la corriente en cada lado del plano se cancelan exactamente entre sí por simetría, por lo que no hay red$z$componente de la fuerza.

De nuevo la red$x$componente de la fuerza es cero. El$z$componente de la$B$campo tiene productos cruzados con el$y$componente de la corriente en las bobinas, pero si las observa detenidamente, también encontrará que se cancelan por simetría.

Estoy pensando en el imán como una bobina apretada o una hélice de alambre que transporta corriente (¿está bien?).

Eso es perfecto.

El campo magnético proveniente del cable aéreo está en el$y$-dirección en la parte superior del imán (¿es correcto?). Las corrientes en el imán son pequeños círculos en el ($x$-$y$) avión.

Hmmm, déjame verificar dos veces que entiendo tu sistema de coordenadas:

La regla de la mano derecha da una fuerza$\mathbf F=q\mathbf v\times\mathbf B$que empuja el cable en el$y$-dirección. Aquí, asumo que el cable va a lo largo del$x$-eje, el imán de barra corre a lo largo del$z$-eje. la direccion en$y$que el cable se desvíe depende de en qué dirección vaya la corriente.

Bueno. yo diria que tu$x$-la dirección está "fuera de la página", lo que significa que el avión es el$y$-$z$avión. Si$y$está a la derecha y$z$está arriba, entonces su sistema de coordenadas es diestro (lo que significa que los productos cruzados tienen el signo que espera). Sin embargo, si$\mathbf B = B\hat{\mathbf{z}}$y$q\mathbf v = qv \hat{\mathbf x}$, que es como interpreto sus definiciones y la figura de Feynman, entonces la fuerza en el cable estará en el$-\hat{\mathbf y}$dirección. No estoy seguro de si indicaste este signo explícitamente o no, pero querrás cometer un número par de errores de signo (idealmente, errores de signo cero) mientras tratas de convencerte de que estas dos fuerzas están en direcciones opuestas.

Con esas convenciones, su geometría citada anteriormente es correcta. El campo de los puntos de alambre en el$+y$dirección en la ubicación de la barra magnética, que podemos modelar tantos bucles de corriente pequeños en el$x$-$y$plano, que es normal a la página.

Cuando quiero pensar en las fuerzas magnéticas de una manera no algebraica, uso estas reglas:

1. Las corrientes paralelas se atraen entre sí.
2. Las corrientes antiparalelas se repelen entre sí .
3. (una distracción aquí, pero para completar el conjunto) Las corrientes sesgadas sienten un par que las hace querer volverse paralelas; si eso está permitido, las nuevas corrientes paralelas serán atraídas.

Así que pensemos en la acción de tu pequeño$x$-$y$bucles actuales, usando una mezcla de estas reglas heurísticas y el$q\mathbf v\times\mathbf B$regla. Aquí hay un dibujo horrible de solo texto del extremo norte del imán. El$\mathbf B$-campo debido al cable (que sale de la página, (.)en algún lugar muy arriba) apunta a la derecha. En cada pequeño bucle de corriente, sale corriente de la página (.)del lado izquierdo y regresa a la página (x)del lado derecho.

-------->     -------->     -------->   (field from wire
 -------> (.)  --(N)->  (x) ------->     points to right,
  ----- > (.)   ---->   (x) ------>      mostly constant)

Aquí las corrientes fuera de página (.)van a sentir una fuerza apuntando hacia arriba, en el$+z$dirección, porque son atraídos por la corriente fuera de la página en el cable de arriba. Las corrientes dentro de la página (x)van a sentir una fuerza que apunta hacia abajo, porque son repelidas por la corriente fuera de la página que está arriba. Y si el campo donde se asientan los bucles de corriente es uniforme , resulta que estas fuerzas opuestas se anulan. Este es uno de otro conjunto de resultados útiles para conocer la interacción entre los imanes y los campos magnéticos:

4. Un dipolo magnético en un campo magnético externo siente un par que lo hace querer alinearse con el campo.
5. Un dipolo magnético que esté alineado con un campo magnético externo será atraído hacia la parte fuerte del campo.
6. Un dipolo magnético que está antialineado con un campo magnético externo será repelido por la parte fuerte del campo.
7. Un dipolo magnético en un campo uniforme siente un par, pero no una fuerza neta.

(Aquí hay una declaración un poco más formal de estas reglas ).

Desde esta perspectiva, puede comenzar a ver que una explicación manual de la fuerza neta en el imán permanente implicará muchas ondas. Si fuera una buena aproximación que el campo del alambre fuera uniforme, entonces el imán permanente sentiría un par pero no una fuerza. Sin embargo, el imán permanente no puede girar por sí solo, lo que violaría la conservación del momento angular. Si el imán estuviera girado en el sentido de las agujas del reloj en mi horrible diagrama de texto, de modo que los pequeños dipolos de bucle de corriente estuvieran alineados con el campo del cable, ese momento angular en el sentido de las agujas del reloj tendría que venir de alguna parte. Y el movimiento hacia la izquierda que experimenta el cable --- lo que se conoce como una "fuerza en el cable" cuando imaginábamos que el imán estaba fijo --- es justo lo que necesita para dar toda lasistema el poco de momento angular en sentido contrario a las agujas del reloj.

Sin embargo, el hecho de que el campo no sea uniforme hará que el movimiento general sea mucho más complicado. Feynman probablemente fue inteligente al dejar sin especificar una descripción detallada de la reacción inversa en el imán permanente.