Percolación y número de fases en el modelo 2D Ising

Actualizar. Como mi figura anterior tenía errores conceptuales decidí cambiar la imagen por otra más instructiva.

Después de mucho tiempo volví para tratar de entender un artículo sobre el modelo Ising. El artículo de revisión es Percolación y número de fases en el modelo 2D de Ising de Hans-Otto Georgii y Yasunari Higuchi (publicado en 2000 en el Journal of Mathematical Physics como Percolación y número de fases en el modelo bidimensional de Ising ).

Confieso que ya después de la primera mitad del enunciado del primer tema se perdió. Para un experto mis dudas sobre la segunda mitad de la prueba del lema de abajo son ciertamente primitivas.

Reproduzco a continuación el enunciado del lema y su prueba juntos como algunas figuras para ilustrar lo que hice la primera mitad de la demostración del lema.

Lema 2.1(Existencia de infinitos clusters) Si$\mu\in\mathcal{G}$es diferente de$\mu^-$, existe con probabilidad positiva un infinito$+$grupo. Eso es,$\mu(E^+)>0$cuando$\mu\ne\mu^-$.

[Aquí,$\mathcal{G}$es el conjunto de medidas de Gibbs del modelo de Ising de primeros vecinos en la red$\mathbb{Z}^2$. Y$\mu^-$es la medida extrema de Gibbs, que se obtiene por límite termodinámico de medidas de volumen finito con bordes fijados en signo negativo.$E^+$denota el evento de que existe un grupo infinito de espines en el estado$+$.]

Prueba. Suponer que$\mu(E^+)=0$. Entonces cualquier cuadrado dado$\Delta$es casi seguro que está rodeado por un$-*$circuito, y con probabilidad cercana a$1$tal circuito ya se puede encontrar dentro de un cuadrado$\Lambda\supset\Delta$proporcionó$\Lambda$es lo suficientemente grande. Si esto ocurre, dejamos$\Gamma$Sea el subconjunto aleatorio más grande de$\Lambda$cual es el interior de tal$-*$circuito. (Un conjunto más grande existe porque la unión de tales conjuntos es nuevamente el interior de un$-*$circuito.) En el caso alternativo establecemos$\Gamma=\emptyset$. Por maximalidad,$\Gamma$se determina desde el exterior [ver la figura a continuación].

Hasta ahora entiendo el argumento. Y en cualquier sección de este teorema se repite este argumento en varias demostraciones. Pero lo que viene a continuación no parece inteligible para un no especialista. No tengo idea de cómo las propiedades a continuación obtienen la igualdad deseada a través de las instrucciones a continuación:

Continuación de la prueba: La propiedad fuerte de Markov junto con la monotonicidad estocástica $\mu^-_\Gamma\preceq \mu^-$por lo tanto implica (en el límite$\Lambda\uparrow\mathbb{Z}^2$) eso$\mu\preceq\mu^-$en$\mathcal{F}_\Delta$. Desde$\Delta$fue arbitrario y$\mu^-$es mínimo encontramos que$\mu=\mu^-$, y el lema queda probado. $\Box$

Pregunta: ¿Cómo usar la propiedad fuerte de Markov y la monotonicidad estocástica para terminar la demostración del lema? A continuación las propiedades utilizadas como se establece en el artículo.

$\bullet$la propiedad fuerte de Markov de las medidas de Gibbs, afirmando que$\mu(\cdot\,|\mathcal{F}_{\Gamma^c})(\omega) =\mu_{\Gamma(\omega)}^\omega$para$\mu$-casi todos$\omega$cuando$\Gamma$es cualquier subconjunto aleatorio finito de$\mathbb{Z}^2$que se determina desde fuera, en que$\{\Gamma=\Lambda\}\in\mathcal{F}_{\Lambda^c}$para todo finito$\Lambda$, y$\mathcal{F}_{\Gamma^c}$es el$\sigma$-álgebra de todos los eventos$A$afuera$\Gamma$, en el sentido de que$A\cap \{\Gamma=\Lambda\}\in\mathcal{F}_{\Lambda^c}$para todo finito$\Lambda$. (Usando las convenciones$\mu_{\emptyset}^\omega=\delta_\omega$y$\mathcal{F}_{\emptyset^c}=\mathcal{F}$de hecho podemos permitir que$\Gamma$toma el valor$\emptyset$.) Para una prueba
uno simplemente divide$\Omega$en los conjuntos disjuntos$\{\Gamma=\Lambda\}$para finito$\Lambda$.

.

$\bullet$la monotonicidad estocástica (u orden FKG) de las distribuciones de Gibbs; escribiendo$\mu\preceq\nu$cuando$\mu(f)\leq\nu(f)$para todas las funciones reales crecientes locales (o, de manera equivalente, todas las crecientes medibles acotadas)$f$en$\Omega$, tenemos$\mu_{\Lambda}^\omega\preceq\mu_{\Lambda}^{\omega'}$cuando$\omega\leq\omega'$, y
$\mu_{\Lambda}^\omega\preceq\mu_{\Delta}^\omega$cuando$\Delta\subset\Lambda$y$\omega\equiv +1$en$\Lambda\setminus\Delta$(La relación opuesta se cumple cuando$\omega\equiv -1$en$\Lambda\setminus\Delta$).