Parejas sentadas en una mesa redonda

EDITAR: Vaya, leí mal esto como permutaciones circulares, no importa.

Creo que sería más fácil definir sus propiedades o conjuntos, como quiera, para que sean los que no desea contar y luego eliminarlos. Por lo tanto, defina sus propiedades como:

$p_1=$la pareja 1 se sienta junta

$p_2=$pareja 2 se sienta juntos

$p_3=$la pareja 3 se sienta junta

Donde, por supuesto, estás mirando el conjunto de todas las permutaciones circulares posibles de 6 personas, es decir$5!$Lo que quieres encontrar es el número de permutaciones circulares con exactamente ninguna de esas propiedades.

Si una propiedad se mantiene, empareja a una pareja, por lo que realmente solo está ordenando a 5 personas, por lo que hay$4!$permutaciones circulares posibles. Sin embargo, también hay 2 configuraciones posibles sobre cómo se sienta la pareja, es decir, quién está a la izquierda, por lo que también debe incluir un factor de 2.

De manera similar, para algún conjunto X de propiedades, hay$(6-|X|-1)!*2^{|X|}$posibles formas de ordenar las parejas con al menos esas propiedades.

Por PIE, hay$\sum_{i=0}^{3} \binom{3}{i} * (-1)^i * (6-i-1)! * 2^i$formas de sentar a estas parejas sin ninguna de las propiedades indicadas. Presumiblemente, tendrán un trozo de pastel.

Al principio asumimos que somos libres de elegir lugares, y tenemos$6! = 720$posibilidades.

Luego, para que una de las parejas se siente junta, primero verificamos cuántas posiciones de asiento tenemos para una pareja. Vemos que tenemos$6$posiciones donde se puede sentar la primera pareja, y podemos permutar la pareja en$2!$manera, entonces tenemos$6*2!$para que una pareja se siente junta, y luego tenemos que multiplicar esto por$4!$que da las permutaciones para que el resto de la gente se siente en una mesa. Entonces, en general, para que una pareja se siente junta, tenemos$(6* 2!)*4! = 288$.

A continuación, observamos las permutaciones donde dos de las parejas se sientan juntas. Nuevamente para la primera pareja que tenemos$6*2!$, pero luego para la segunda pareja tenemos$3$posibles posiciones sentadas, y podemos permutar de nuevo a la pareja en$2!$manera, por lo tanto para la segunda pareja tendremos$3*2!$, lo que deja a la última pareja con$1*2!$(Tenga en cuenta que solo nos importa que dos de las parejas se sienten juntas, simplemente no nos importa la tercera pareja aquí). Entonces, en general para dos parejas sentadas juntas tenemos,$(6*2!)*(3*2!)*(1*2!) = 144$.

Por último, vemos las posibilidades en las que todas las parejas se sientan juntas (lo que quiero decir con juntas es que cada pareja se sienta junto a su pareja). nuevamente tenemos$6*2!$para la primera pareja, pero ahora para la segunda pareja tendremos$2*2!$, en realidad tenemos$3$opciones de asiento para la segunda pareja (al igual que en el caso anterior), pero hay una opción de asiento que hará que los socios de la tercera pareja no se sienten uno al lado del otro, por lo que excluimos eso y, por lo tanto, solo tenemos$2$opciones Por último, para la tercera pareja tendremos$1*2!$. Lo que en general da,$(6*2!)*(2*2!)*(1*2!) = 96$.

Como tenemos tres pares, necesitamos usar la primera permutación y la segunda permutación tres veces, y por último dividimos por$6$debido a la simetría en la definición del problema. Entonces, en total tenemos:

$$\frac{720 - 288 - 288 - 288 + 144 + 144 + 144 - 96}{6} = \frac{192}{6} = 32$$