¿Cuál sería la distribución adecuada para modelar el número de partículas en un estado en conjunto canónico?

Contando cuántas veces el sistema es real$n_i$value sale a su valor esperado, como lo está haciendo en la segunda parte, está encontrando la distribución para el estimador del parámetro de otra distribución . Aquí es donde todo el asunto de T, F y$\chi^2$Las distribuciones provienen de estadísticas que supuestamente se centran en variables aleatorias gaussianas.

Para la distribución de$n_i$que realmente está buscando, binomial es correcto . voy a tomar$i = 1$sin pérdida de generalidad y escribirlo como

$$\begin{equation} P(n_1) = \binom{N}{n_1} \left ( \frac{e^{-\beta E_1}}{Z_1} \right )^{n_1} \left ( 1 - \frac{e^{-\beta E_1}}{Z_1} \right )^{N - n_1}. \end{equation}$$ Para comprobar esto, podemos volver a la definición de fuerza bruta. ¿Cuál es la probabilidad de que haya$n_1$partículas en el nivel$1$? Es la probabilidad de que el sistema se encuentre en un microestado con$n_1$partículas en el nivel$1$, sumado sobre todos esos microestados. Esto significa que tomamos la$N$función de partición de partículas $$\begin{equation} Z_N = Z_1^N = \sum_{n_1 + \dots + n_k = N} \binom{N}{n_1, \dots, n_k} e^{-\beta(n_1 E_1 + \dots + n_k E_k)} \end{equation}$$ y realizar una suma muy similar donde$n_1$se mantiene fijo. $$\begin{align} P(n_1) &= Z_N^{-1} \sum_{n_2 + \dots + n_k = N - n_1} \binom{N}{n_1, \dots, n_k} e^{-\beta(n_1 E_1 + \dots + n_k E_k)} \\ &= Z_N^{-1} e^{-\beta n_1 E_1} \binom{N}{n_1} \sum_{n_2 + \dots + n_k = N - n_1} \binom{N - n_1}{n_2, \dots, n_k} e^{-\beta(n_2 E_2 + \dots + n_k E_k)} \\ &= Z_N^{-1} e^{-\beta n_1 E_1} \binom{N}{n_1} \left ( Z_1 - e^{-\beta E_1} \right )^{N - n_1} \\ &= Z_1^{-N} e^{-\beta n_1 E_1} \binom{N}{n_1} \left ( Z_1 - e^{-\beta E_1} \right )^{N - n_1} \end{align}$$ Ahora sigue la reivindicación. Para pasar de la línea 2 a la 3, teníamos que recordar que el nivel$E_1$ya no estaba presente, haciendo que la suma combinatoria sea igual a una potencia de una corregida$Z_1$.

Discusión del escenario alternativo

Después de dormir, creo que el experimento que describes es un poco más desconcertante que construir un estimador. Primero, cuando veo

$${^NC_\mu} \space\space(\frac{n_i}{N})^\mu \space\space (1-\frac{n_i}{N})^{N-\mu}$$

esa es claramente la probabilidad de que algo suceda$\mu$veces. Sin embargo, lo estás interpretando como la probabilidad de que cierta variable sea igual a$n_i$diciendo que necesita ser normalizado a mano. Esta es una bandera roja. Es común que los argumentos de la física solo nos digan "a qué son proporcionales las probabilidades", pero ideas como la ley de los grandes números son matemáticas, no físicas.

Así que intentaré hacer una analogía con las monedas. En realidad, será una analogía con la fórmula.

$${^NC_\mu} \space\space(\frac{1}{N})^\mu \space\space (1-\frac{1}{N})^{N-\mu}$$

porque no se como te pones$n_i$para aparecer en la forma en que lo hizo. Uno de los$N$copias tiene$n_i$partículas en estado$i$. No$n_i$del$N$copias

De todos modos, suponga que compró una moneda en la que sale cara con probabilidad$p$y cruz con probabilidad$1 - p$. Después$N$voltea,$\mu = Np$es el número esperado de cabezas. Ahora suponga que va a la misma tienda y compra la misma moneda nuevamente. Con tus dos monedas idénticas, pintas sobre la cabeza de una y la cruz de la otra y las metes en un sombrero.

Puede meter la mano en este sombrero y sacar monedas con reemplazo muchas veces y crear una distribución. Pero hay una moneda de cada tipo por lo que esta será la distribución de una moneda justa . Es decir, cada sorteo del sombrero es como un flip 50-50, no un$p$voltereta sesgada. Así que nada de lo que hagas con el sombrero te dará información sobre la probabilidad de que salga cara un cierto número de veces en el problema original.

Basado en el chat, los comentarios y las respuestas en esta pregunta y una relacionada, parece que encontré la fuente principal de mi confusión.

Lo primero que debe recordar aquí es que nuestro sistema es dinámico. Esto significa que en cualquier momento, debido a colisiones y otros fenómenos, la cantidad de partículas que ocupan cualquier nivel de energía va cambiando y, por lo tanto, la energía de este sistema sigue fluctuando. Esto debe tenerse en cuenta.

Antes de que pueda explicar más la confusión, necesito hablar sobre la fuente de esta confusión que proviene de un problema relacionado pero muy diferente .

En el problema anterior, tenía una bolsa con un número fijo de canicas y algunas de ellas eran azules. Usé el muestreo para encontrar la probabilidad aproximada de recoger una bola al azar y encontrar que era azul. Usando esto, quería crear una distribución de probabilidad para la cantidad de canicas azules en la bolsa.

La forma correcta de lidiar con este problema es recordar que el número de canicas azules estaría entre$0$y$N$dónde$N$es el número total de canicas. Entonces, creamos$N+1$diferentes sistemas etiquetados de$0$a$N$, donde la etiqueta indica el número de canicas azules en el sistema. Usando los métodos discutidos en las respuestas allí, encontramos la distribución requerida. Sin embargo, en resumen, lo que hacemos es encontrar la probabilidad de cada uno de estos$N+1$sistemas, de ser nuestro sistema original (el más parecido). Eso nos diría indirectamente la probabilidad de tener diferentes números de canicas azules en el sistema original, es decir, nuestra distribución de probabilidad requerida.

Si lo piensa detenidamente, acabamos de crear un conjunto aquí. Hemos reemplazado nuestro sistema con$N+1$copias idénticas, y trató de averiguar la probabilidad de que nuestro sistema original sea cualquiera de estos.

Intentamos usar esta misma lógica y analogía para el número de partículas en un cierto nivel de energía en nuestro sistema. Sin embargo, hubo algunas fallas importantes que hacen que los dos casos sean similares, pero no idénticos.

Notemos estos defectos primero:

1. En el caso de las canicas, el sistema no es dinámico. El número de canicas azules en la bolsa, aunque es una variable aleatoria desconocida, es fijo, es decir, no cambia. Puedes pensar que está congelado en el tiempo. Sin embargo, en el caso de nuestras partículas, como hemos mencionado al principio, el sistema es dinámico, el número de partículas en un estado cambia una y otra vez.

Esto crea un problema. Supongamos que haces un conjunto con$N+1$estados idénticos, al igual que la caja de mármol. Sin embargo, en el caso del mármol, el sistema original era estático y, por lo tanto, el$N+1$Los sistemas también eran constantes (distinguibles). En el caso de las partículas, dado que su sistema original es dinámico, su$N+1$los sistemas también deben ser dinámicos. Si son dinámicos, todos son idénticos entre sí, ya que todos cambian constantemente y no obtendrá ninguna respuesta sobre cuál es más probable y así sucesivamente, porque es posible que no tenga$N+1$diferentes respuestas para elegir.

Como puedes ver, por esta razón, no puedes usar el razonamiento que usaste en el caso de las canicas. Tal vez si congela todo el sistema en el tiempo, junto con el$N+1$copias, entonces puede usarlo, pero eso sería inútil en el momento en que 'descongele' este sistema.

2. La segunda diferencia es que las canicas en una bolsa no son independientes entre sí. La probabilidad de que saques una canica azul depende de cuántas canicas en la bolsa sean realmente azules (un número fijo). En nuestro caso de partículas, hemos asumido que no interactúan. Por lo tanto, cada partícula puede considerarse independiente del resto.

En lugar de encontrar una analogía entre las canicas y las partículas, sería mejor comparar estas partículas con dados individuales. La probabilidad de que de un solo dado salga un seis es prácticamente independiente de cuántos de los$N$otro dado idéntico en la habitación, sacó un seis.

Otra cosa a destacar es que, el color de una canica es una propiedad única y fija. Una canica azul no se vuelve verde. Sin embargo, el número en un dado no es fijo. Un dado puede mostrar un número diferente en cada tirada. Nuestras partículas son dinámicas, como estos dados. Entonces, la analogía física de verificar la energía de una sola partícula no sería sacar una canica de una bolsa de canicas y verificar la probabilidad de que sea azul. Sería más como sacar un dado al azar de una bolsa llena de dados y comprobar cuál es la probabilidad de que salga un seis.

Como puede ver, la primera analogía depende de la cantidad de canicas que son azules. Además, recuerda, dado que las canicas tienen un color único, son diferentes entre sí, en cierto sentido son distinguibles. Nuestras partículas son como dados idénticos (dados sesgados, ya que los niveles de energía más bajos son más probables, pero no obstante idénticos).

Por lo tanto, la probabilidad de encontrar una partícula en cierto estado no tiene nada que ver con el número real de partículas en ese estado. Habría importado si las partículas tuvieran una energía fija; en ese caso, la probabilidad de encontrar una partícula en ese estado de energía particular habría dependido del número de partículas en ese estado. Ya que son dinámicos, no importa.

Como hemos logrado demostrar que la probabilidad de que una sola partícula tenga cierta energía es independiente de todas las demás partículas, hallando la probabilidad de que$n$partículas tienen la misma energía, se convierte en un problema directo, relacionado con la distribución binomial. La probabilidad de que$n$fuera de$N$las partículas están en el$\epsilon_i$estado, es básicamente encontrar la probabilidad de que cada uno de los$n$partículas están en ese estado, multiplicado por la probabilidad de que el resto$N-n$de ellos, no están en ese estado. Además, si las partículas son dinámicas y distinguibles, también hay que multiplicar el número de formas de elegir$n$partículas de$N$. Esto no es más que la distribución binomial que @Connor Behan derivó en una respuesta diferente.

PD: tenga en cuenta que he usado la palabra distinguible en dos sentidos diferentes aquí. En el primer sentido, se pueden distinguir entre sí dos canicas diferentes o dos partículas o dados diferentes. En este sentido, las partículas son distinguibles. Sin embargo, aunque se pueden distinguir dos dados o partículas, tienen propiedades idénticas. De hecho, todos los dados y las partículas tienen propiedades idénticas, todos son dinámicos y no tienen una energía única o algo así. En este sentido, las partículas son idénticas. Sin embargo, en el caso de las canicas, no todas las canicas tienen la misma propiedad. No solo son distinguibles entre sí, sabemos que las canicas azules son diferentes de las canicas verdes y así sucesivamente. Por lo tanto, también son distinguibles en el sentido de sus propiedades. Las partículas son idénticas en este sentido,