La relación entre las condiciones de contorno y la densidad de estados de un sistema.

La densidad de estados por unidad de energía, por unidad de longitud, es la misma para las condiciones de límite de período y de pared rígida. Hay dos razones para esto. 1) Matemáticas: para condiciones de contorno periódicas, los estados propios son$\psi_n(x)=\exp(ik_nx)$con$k_n= 2\pi n/L$. Necesita valores positivos y negativos del impulso.$k_n$tener un conjunto completo de estados propios. Para condiciones de contorno de pared rígida$\psi_n(x)= \sin(k_n x)$con$k_n = \pi n /L$, pero solo tienes valores positivos de$k_n$. Así, aunque los niveles de energía están el doble de separados en el caso periódico, cada estado periódico es doblemente degenerado ($\pm k_n$tienen la misma energía). Cuando se representa en términos de$E$, por lo tanto, y cuando$L$es grande, los espectros de energía se ven esencialmente iguales a menos que pueda resolver las diferencias de orden de energía$1/L$. 2) Física: para que una partícula en una región grande sepa si está en una caja periódica o en una con paredes rígidas, la partícula en realidad tiene que llegar a las paredes varias veces para configurar una función de onda de onda estacionaria. Cuanto más grande sea la caja, mayor será el tiempo y, por lo tanto, tendrá que medir la energía con mayor precisión para notar la diferencia. En consecuencia, cuando mide algo físico como el calor específico por unidad de volumen, las condiciones límite exactas hacen poca diferencia.

Tenga en cuenta también que para paredes rígidas el impulso$\hat p$no es un observable: no hay estados propios de momento compatibles con pared rígida ($\psi(0)=\psi(L)=0$) condiciones de borde. solo la energia$E=\hat p^2/2m$es un observable en ese caso. Como resultado, la densidad de estados propios por unidad de energía constituye la comparación más significativa entre los dos casos.

La conclusión es que cuando desea describir un sistema muy grande, la condición límite exacta que coloca en las paredes distantes hace una diferencia insignificante para cualquier cantidad que pueda medir en un laboratorio.

La física no es la misma en las dos situaciones. Para una partícula en una caja unidimensional, la probabilidad de que la partícula esté fuera de la caja es cero. Dado que la función de onda debe ser continua, necesitamos imponer la condición de contorno$\psi(0)=\psi(L)=0$. Por lo tanto, el resultado debe ser independiente del tiempo y de la forma general

Imponemos condiciones de contorno periódicas cuando queremos normalizar la función de onda plana o establecer un límite superior para la longitud de onda. A veces incluso lo usamos como una técnica para resolver problemas y establecer$k\rightarrow\infty$después de resolverlos. En este caso, la función de onda se define en todas partes (incluso fuera de la 'caja'). Dado que no existe un potencial infinito en ninguna parte, ambos$\psi(x)$,$\psi'(x)$necesita ser continuo. Por lo tanto, las condiciones de contorno son$\psi(x)=\psi(x+L)$y$\psi'(x)=\psi'(x+L)$. El resultado puede ser dependiente del tiempo, y de la forma general

Si mantenemos su condición de frontera periódica$\psi(0)=0$y$\psi(x+L)=\psi(x)$, que creo que es inapropiado, todavía podemos ver dónde está el problema. Esta condición de contorno puede implicar la primera condición de contorno$\psi(0)=\psi(L)=0$, Pero la conversación no es verdadera. Por lo tanto, es razonable que las soluciones del segundo caso estén contenidas en el primer caso.