Para una nave espacial que orbita un planeta, la velocidad orbital es inversamente proporcional al radio de la órbita. ¿Pero se debe aumentar la velocidad para aumentar el radio de la órbita?

La ecuación que ha escrito allí se aplica solo a la órbita circular, pero la órbita no es circular durante el tiempo que la nave espacial asciende a una órbita más alta. A medida que la nave espacial sube hacia la órbita más alta, su velocidad inicialmente aumentada se ralentiza a medida que la energía cinética se transforma en energía potencial.

Una forma sencilla de calcular pasar de una órbita circular a una más grande: comienza aumentando la velocidad. La órbita se convierte en una elipse. Como señala Kirby, la velocidad disminuye a medida que el satélite se aleja. En el lado más alejado de la elipse, aumente la velocidad nuevamente para colocar el satélite en un círculo más grande. (Calcule utilizando la conservación de la energía y el momento angular).

Si estás en una órbita circular en el radio$r_1$y quiere moverse a una órbita circular más alta en el radio$r_2$, entonces tienes razón; tu velocidad en el$r_2$la órbita será más baja que la$r_1$orbita. Entonces, en algún momento de su transición a la nueva órbita, necesita perder velocidad.

Sin embargo, no puedes simplemente teletransportarte mágicamente a$r_2$y luego reducir la velocidad. Y si reduce la velocidad primero (en$r_1$), irá demasiado lento para una órbita circular en su posición actual, por lo que caerá más bajo, no subirá a$r_2$(la trayectoria resultante será una órbita elíptica con el punto más alto en$r_1$). Así que lo único que puede hacer para tratar de llegar a$r_2$es acelerar.

Si aceleras desde una órbita circular a$r_1$, viajará más rápido que la velocidad de la órbita circular en$r_1$. La gravedad no podrá doblar su trayectoria "lo suficientemente rápido" para permanecer en el mismo radio; tu nueva trayectoria te llevará más alto. Eso es lo que queremos. Si calcula la cantidad para acelerar correctamente, puede obtener una elipse con solo tocar$r_2$en su punto más alto y$r_1$en su punto más bajo, en extremos opuestos de la elipse.

En una órbita elíptica, a diferencia del caso especial de una órbita circular, su velocidad no es constante; la gravedad te acelera y te frena en el transcurso de un período orbital. Otra forma de ver esto es que su energía total permanece fija (si no enciende sus motores para cambiar la velocidad), pero su energía potencial gravitatoria es mayor cuando está cerca del extremo superior de su órbita, lo que deja menos energía total. energía que puede ser absorbida por la energía cinética. Por lo tanto, su velocidad orbital debe ser menor cerca del extremo superior de la elipse que cerca del extremo inferior.

cuando estas en$r_1$estás viajando demasiado rápido para una órbita circular (es por eso que te elevas a$r_2$al otro lado de la órbita). y cuando estas en$r_2$estás viajando demasiado lento para una órbita circular (es por eso que retrocedes a$r_1$sobre el otro lado de la órbita). Entonces, si espera hasta que esté exactamente en el punto más alto de la elipse, puede acelerar hasta alcanzar la velocidad de la órbita circular en$r_2$.

Entonces (mediante este simple conjunto de maniobras) en realidad enciende sus motores dos veces para hacer la transición a una órbita circular en$r_2$, y en ambas ocasiones estás disparando para acelerar. Sin embargo, entre las dos quemadas, se desliza por una trayectoria elíptica en la que pierde velocidad gradualmente; pierdes tanto que incluso después de aumentar la velocidad dos veces, tu velocidad seguirá siendo menor que cuando originalmente viajabas en una órbita circular en$r_1$.

Así que ves que no hay contradicción entre que las órbitas circulares más altas sean más lentas y que necesites acelerar para cambiar tu trayectoria para alcanzar una órbita más alta. Te estabas olvidando de la elipse intermedia que conecta las dos órbitas, donde también pierdes velocidad.

En una órbita circular, la energía total (con la opción estándar de$U \to 0$en$\infty$) es dado por

¿Cómo sucede esto, dado que inicialmente debe agregar esta energía en forma de energía cinética a través de impulsores? Es simplemente que una vez que haya hecho esto y se esté moviendo radialmente hacia el radio más alto, la gravedad está haciendo un trabajo negativo porque está actuando de manera opuesta al componente radial de su movimiento, es decir, la energía cinética que agregó se está traduciendo en energía potencial gravitacional. .