¿Para qué sirve el tensor métrico?

La métrica mide longitudes en varias direcciones y también ángulos entre varias direcciones. por ejemplo si$\vec{e}_{(1)}$es el vector base en el$x^1$-dirección, tendrá una longitud (al cuadrado) dada por

$$\lVert \vec{e}_{(1)} \rVert^2 = g(\vec{e}_{(1)}, \vec{e}_{(1)}) = g_{11}.$$ Si también tenemos el vector base $\vec{e}_{(2)}$en el $x^2$-dirección, luego el ángulo $\theta$entre estos vectores obedece $$\lVert \vec{e}_{(1)} \rVert \cdot \lVert \vec{e}_{(2)} \rVert \cos\theta = \vec{e}_{(1)} \cdot \vec{e}_{(2)} = g(\vec{e}_{(1)}, \vec{e}_{(2)}) = g_{12}.$$

Hasta ahora no hemos hecho ninguna mención a la transformación de coordenadas. Ahora, las transformaciones de coordenadas son algo que nos gustaría poder hacer, y la regla para la métrica (o, de hecho, cualquier tensor de rango (0,2)) es

$$g_{ij} = \sum_{\hat{\imath},\hat{\jmath}} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^i} \frac{\partial x^\hat{\jmath}}{\partial x^j} g_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}. \qquad \text{(all coordinate transformations)}$$ Si el sistema de coordenadas sombreado es un espacio euclidiano normal con coordenadas cartesianas normales, $g_{\hat{\imath}\hat{\jmath}} = \delta_{\hat{\imath}\hat{\jmath}}$y nos quedamos $$g_{ij} = \sum_{\hat{\imath}} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^i} \frac{\partial x^\hat{\imath}}{\partial x^j}. \qquad \text{(Cartesian hatted coordinates only)}$$ Pero esto es solo una regla para transformar la métrica de un sistema de coordenadas a otro. El uso real de la métrica es calcular longitudes y ángulos en un sistema de coordenadas particular (como arriba), o describir la geometría local del espacio (tiempo) de una manera concisa y abstracta (en cuyo caso ni siquiera encuentra su componentes en cualquier sistema de coordenadas en particular).

La métrica es un concepto importante en la relatividad general.

En GR, los vectores corresponden a direcciones ponderadas en el espacio-tiempo (por "ponderado", quiero decir que cualquier múltiplo escalar de un vector corresponde a la misma dirección, pero ponderado de manera diferente). Entonces, el tensor métrico puede informarnos sobre el ángulo entre dos direcciones o la magnitud de un vector dado, lo que nos da una noción de longitud en el espacio-tiempo.

La métrica también aparece en las ecuaciones de Einstein, relacionando la distribución de la energía y el momento a través del espacio-tiempo con la curvatura, lo que implica la métrica y sus derivados. Es decir, la curvatura, y por lo tanto la métrica, del espacio-tiempo están determinadas por la distribución de la energía y el momento.

La métrica es un tensor de rango dos que define varias características de una variedad diferencial. Define cómo relacionar los cambios de distancia con los cambios de coordenadas, cómo tomar el producto interno de dos vectores. Dado un producto interno, tenemos una forma de medir ángulos.

Más indirectamente, la métrica describe las geodésicas en una variedad, la distancia más corta entre dos puntos. Así como la distancia más corta entre dos puntos en la superficie de una esfera no es una línea recta, este también es el caso en un espacio general no plano. Hablando de eso, la métrica contiene información sobre la curvatura de una variedad, así como también sobre cómo cambian los vectores base de coordenadas dentro de la variedad.

Dada su relación con el producto interno, la métrica proporciona un medio para generalizar las Leyes de Gauss y Stoke a dimensiones superiores.

Esta es una excelente introducción a estos temas: Un primer curso de relatividad general de Schultz