¿Aquí RRR es el conjunto de todos los restos posibles cuando los números enteros se dividen por mmm?

Question

¿Aquí RRR es el conjunto de todos los restos posibles cuando los números enteros se dividen por mmm?

Matemáticas
teoría de los números
teoría-de-números-elemental

Aashiq Raza

Colocar $\mathbb Z/m \Bbb Z$ se llama el conjunto de Clases de Congruencia módulo $m$ (también llamado módulo de clase de residuos $m$ ).

Ahora, $\mathbb Z/m \Bbb Z=$ { $0+\mathbb Z/m \Bbb Z$ , $1+\mathbb Z/m \Bbb Z$ , $2+\mathbb Z/m \Bbb Z$ ,..., $(m-1)+\mathbb Z/m \Bbb Z$ }.

El conjunto $R=$ { $r_1,r_2,r_3,...,r_m$ } se llama un conjunto completo de Residue modulo $m$ si $r_1,r_2,r_3,...,r_m$ son módulos incongruentes por pares $m$ .

hace aquí $R$ es el conjunto de todos los residuos posibles cuando los números enteros se dividen por $m$ ?Si $Yes$ ,entonces el conjunto completo de residuos módulo $m$ debiera ser { $0,1,2,3,...,(m-1)$ } .

Considerándolo como un resultado verdadero, el conjunto completo de módulo de residuos $7$ será { $0,1,2,3,4,5,6$ }, pero no es así. (Es { $0,2,4,6,8,10,12$ }).

Creo que he entendido mal este concepto. Necesito saber en qué me equivoco.

Si alguien tiene un punto de vista diferente para esto, por favor compártalo conmigo.

NOTA: No tengo antecedentes en teoría de números.

Gracias

Bill Dubuque

Según su definición, ambos son conjuntos completos de residuos. Una definición equivalente es que todo número entero es congruente con exactamente un elemento del conjunto. No confunda "residuo" con "resto". Los restos son los elementos menos no negativos en la clase de residuos,

Aashiq Raza

@BillDubuque:Quiero decir, cada número entero

t

$t$ es módulo congruente

m

$m$ a algún número entero

r_{i} \in R

$r_i \in R$ ?

Aashiq Raza

@BillDubuque: Creo que es el punto en el que me confundí.

Bill Dubuque

Sí, pero congruente con uno y sólo uno

r_{\in} R

$\,r_\in R\,$

Aashiq Raza

@BillDubuque: ¿Cuál es la diferencia entre el resto y el residuo?

Aashiq Raza

@BillDubuque:Como el conjunto {

0, 1, 2, 3, . . ., (m - 1)

$0,1,2,3,...,(m-1)$ } se llama conjunto de residuos módulo

m

$m$ , que también es el conjunto de todos los restos posibles cuando los números enteros se dividen por

m

$m$ .

Bill Dubuque

Por lo general (pero no siempre), el resto se refiere a un representante canónico elegido de cada clase de residuos, que generalmente se elige para que sea el menor residuo no negativo (al igual que generalmente elegimos el representante de términos mínimos para cada fracción en su clase de equivalencia de fracciones iguales) .

Aashiq Raza

@BillDubuque: ¿Quiere decir que el resto es el elemento menos no negativo de cada clase de residuo?

Bill Dubuque

Sí, esa es, con mucho, la elección o representante canónico más común.

Aashiq Raza

@BillDubuque: Si consideramos 15, entonces

15 \equiv 1 (m o d 7)

$15\equiv 1(mod 7)$ ,pero

1

$1$ no está dentro del conjunto completo de residuos módulo 7,{

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

$0,2,4,6,8,10,12$ }?

Bill Dubuque

Pero

15 \equiv 8 (\mod 7)

$\ 15\equiv 8\pmod 7$ y

8 \in R .

$\,8\in R.\,$ Recuerde que, por definición

a \equiv b (\mod n) ⟺ n ∣ a - b ⟺ a - b = k n

$\,a\equiv b\pmod n\iff n\mid a-b\iff a-b = kn\,$ por algún entero

n .

$\,n.\$

Aashiq Raza

@BillDubuque: Pero 1 = 8 en (módulo 7).

Aashiq Raza

@BillDubuque: ¿Es el conjunto

R

$R$ ¿único?

Bill Dubuque

Hay infinitos sistemas de residuos completos ya que hay infinitas posibilidades para elegir como representante para cada clase de residuo, por ejemplo, podemos elegir cualquier elemento de

{1 + k m : k \in Z}

$\,\{1+km\,:\, k\in\Bbb Z\}\,$ para el representante en

R

$R$ eso es

\equiv 1 (\mod m)

$\equiv 1\pmod m$ . Puede estar confundiendo mod la relación con mod el operador. Hay muchas respuestas que explican la diferencia, por ejemplo, aquí,

Respuestas (1)

¿Aquí RRR es el conjunto de todos los restos posibles cuando los números enteros se dividen por mmm?

Según su definición, ambos son conjuntos completos de residuos. Una definición equivalente es que todo número entero es congruente con exactamente un elemento del conjunto. No confunda "residuo" con "resto". Los restos son los elementos menos no negativos en la clase de residuos,
@BillDubuque:Quiero decir, cada número entero $t$ es módulo congruente $m$ a algún número entero $r_i \in R$ ?
@BillDubuque: ¿Cuál es la diferencia entre el resto y el residuo?
@BillDubuque:Como el conjunto { $0,1,2,3,...,(m-1)$ } se llama conjunto de residuos módulo $m$ , que también es el conjunto de todos los restos posibles cuando los números enteros se dividen por $m$ .
Por lo general (pero no siempre), el resto se refiere a un representante canónico elegido de cada clase de residuos, que generalmente se elige para que sea el menor residuo no negativo (al igual que generalmente elegimos el representante de términos mínimos para cada fracción en su clase de equivalencia de fracciones iguales) .
@BillDubuque: ¿Quiere decir que el resto es el elemento menos no negativo de cada clase de residuo?
Sí, esa es, con mucho, la elección o representante canónico más común.
@BillDubuque: Si consideramos 15, entonces $15\equiv 1(mod 7)$ ,pero $1$ no está dentro del conjunto completo de residuos módulo 7,{ $0,2,4,6,8,10,12$ }?
Pero $\ 15\equiv 8\pmod 7$ y $\,8\in R.\,$ Recuerde que, por definición $\,a\equiv b\pmod n\iff n\mid a-b\iff a-b = kn\,$ por algún entero $\,n.\$
Hay infinitos sistemas de residuos completos ya que hay infinitas posibilidades para elegir como representante para cada clase de residuo, por ejemplo, podemos elegir cualquier elemento de $\,\{1+km\,:\, k\in\Bbb Z\}\,$ para el representante en $R$ eso es $\equiv 1\pmod m$ . Puede estar confundiendo mod la relación con mod el operador. Hay muchas respuestas que explican la diferencia, por ejemplo, aquí,

jf hernandez · Answer 1

$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ es ${0 + metro Z, 1 + metro Z, \dots, metro - 1 + metro Z}$ $\{0+m\mathbb{Z},1+m\mathbb{Z},\dots,m-1+m\mathbb{Z}\}$
$R=\{0,1,2,3,4,5,6\}=\{0,2,4,6,8,10,12\}$ . Porque en este contexto $1$ medio $1 + 7 Z = {\dots, - 13, - 6, 1, 8, 15, \dots}$ $1+7\mathbb{Z}=\{\dots,-13,-6,1,8,15,\dots\}$ e igualmente para todos los demás números: $0=0+7\mathbb{Z},\;1=1+7\mathbb{Z},\;2=2+7\mathbb{Z},\dots$ . Por lo tanto, $8=1$ , porque $1+7\mathbb{Z}=8+7\mathbb{Z}$ ; $10=3$ , porque $10+7\mathbb{Z}=3+7\mathbb{Z}$ y $12=5$ porque $12+7\mathbb{Z}=5+7\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, ambos conjuntos $R=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ y $R=\{0,2,4,6,8,10,12\}$ son un conjunto completo de módulo de residuos $7$

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