Otra objeción al "radiador" de carga infinito en movimiento de Feynman

¿Cómo podría explicarse la componente −Y del campo eléctrico anunciada por Feynman usando el enfoque de 13-6?

no puede ser No se deje engañar pensando que todos los campos eléctricos y magnéticos se deben a la contracción de longitud de alguna distribución de carga u otra. El hecho de que las fuerzas eléctricas y magnéticas se mezclen cuando cambia el marco de referencia no significa que no exista el magnetismo o la inducción bajo un escrutinio cuidadoso (como debería ser obvio: los campos magnéticos pueden existir en ausencia de cualquier carga).

¿Es correcta mi comprensión de esto en la medida en que debería haber una componente X del campo eléctrico producido por el par de hojas una vez que la hoja "conductora" se pone en movimiento?

Sí, sin embargo, esto representa una contribución al campo eléctrico total del orden de$\frac{u^2}{c^2}$(dónde$u$es la velocidad de la hoja actual), que se puede despreciar en el límite de las pequeñas$u$en comparación con el campo eléctrico inductivo, que es mucho más grande.

Como señala Feynman, el campo magnético (en la región distinta de cero) está dado por

$$\mathbf B = -\frac{J}{2\epsilon_0 c^2}\hat z = -\frac{\sigma' u}{2\epsilon_0 c^2} \hat z = -\frac{\sigma u}{2\epsilon_0 c^2} \hat z + \mathcal O\left(\frac{u^3}{c^3}\right)$$ dónde$\sigma$es la densidad de carga superficial en el plano, y$\sigma'$es la densidad de carga superficial contraída por Lorentz. El campo eléctrico inducido es entonces $$\mathbf E = -c|\mathbf B|\hat y = -\frac{\sigma' u}{2\epsilon_0 c} \hat y = -\frac{\sigma u}{2\epsilon_0 c} \hat y + \mathcal O\left(\frac{u^3}{c^3}\right)$$ Al orden más bajo en$u/c$, podemos simplemente reemplazar$\sigma'$con$\sigma$en ambas expresiones.

Por otro lado, el$\hat x$-componente del campo eléctrico que se puede atribuir a la contracción de Lorentz de la distribución de carga en movimiento es

$$\mathbf E' =\left( \frac{\sigma'}{2\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\right)\hat x = \left[\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}-1\right)\right] \hat x = \left(\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\frac{u^2}{c^2}\right) \hat x + \mathcal O\left(\frac{u^4}{c^4}\right)$$

Sería un ejercicio interesante incluir este componente de orden superior del campo eléctrico en el análisis autoconsistente realizado anteriormente en la derivación de Feynman; Creo que encontraría que la onda se propagaría hacia afuera en un ligero ángulo (no directamente a lo largo del eje x) y que habría una contribución adicional de orden superior al campo magnético en una dirección distinta a$\hat z$.

En cualquier caso, al orden más bajo en$u/c$(es decir, el límite de pequeñas velocidades), el campo eléctrico es simplemente igual a la contribución inductiva.

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No te equivocas al preocuparte por la idea de tirar pequeños términos; después de todo, si una partícula se mueve con una velocidad$v \sim u$, entonces la magnitud de la fuerza magnética sobre la partícula es comparable a la fuerza eléctrica debida al campo electrostático previamente despreciado. Sin embargo, ambas fuerzas son$u/c$veces más pequeño que la fuerza debida al campo eléctrico inductivo, y siempre y cuando solo estemos trabajando en el orden más bajo en$u/c$, entonces todavía estamos bien.

Más concretamente, el propósito de este ejercicio no es determinar los campos eléctricos y magnéticos a órdenes altos de$u/c$, sino más bien para prestar intuición física a la forma en que los campos eléctricos y magnéticos evolucionan de forma coherente entre sí. Los estudiantes (y ex-alumnos :)) tienden a decir cosas como "los campos eléctricos cambiantes producen campos magnéticos" lo cual, en un sentido estricto, no es cierto. Ninguno causa al otro, tanto como evolucionan simultáneamente para satisfacer las ecuaciones de Maxwell.

A menudo, los instructores comienzan con las ecuaciones de Maxwell, derivan las ecuaciones de onda para los campos (o potenciales) eléctricos y magnéticos y luego las usan para calcular cosas como esta. Feynman adopta un enfoque más "nivel básico" y usa las ecuaciones de Maxwell directamente (junto con algunas ideas físicas) para producir la respuesta correcta. El problema en sí es un poco artificial, pero funciona bien para el propósito previsto, y es una forma refrescante de desarrollar la intuición.

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La primera parte de mi pregunta fue respondida satisfactoriamente por J. Murray.

La parte restante es realmente una continuación de mi pregunta anterior. Esa pregunta podría reformularse como: ¿Cómo obtiene Feynman el resultado de que$E_y\ne{0}$es constante entre el plano fuente y el frente de onda?

La respuesta es que, dado que la fuente es un plano infinito, la fuente y el frente de onda forman un límite cerrado porque comparten un límite común "en el infinito". Para cualquier límite que atraviese el frente de onda como el que se muestra en la figura 18.6, la tasa de cambio en el tiempo del flujo magnético a través de la superficie limitada solo dependerá de la longitud de$L$. Si la fuente fuera finita en extensión, el frente de onda se expandiría en todas las direcciones. Por lo tanto, la magnitud de la variación del campo magnético en cualquier punto a lo largo del frente de onda disminuiría con la distancia desde el radiador.

Pero esa respuesta plantea la pregunta de qué fuente es responsable de la presencia de la constante$E_y$entre la fuente y el frente de onda? La respuesta es que la contribución de un anillo que se encuentra en el plano de la fuente y centrado en el segmento de línea perpendicular entre la fuente y un punto de campo donde se medirá el campo es independiente del radio del anillo. El período de transición durante el cual la lámina conductora acelera es el único momento en que se genera un campo eléctrico. Esto se debe a que es el único momento en que hay un campo magnético cambiante. A medida que el horizonte de eventos del período de transición se expande a lo largo del plano fuente, el anillo así determinado contribuye de la misma manera.$E_y$en todo momento.

La sábana de Feynman tenía una extensión infinita y se puso en movimiento durante el tiempo cero. ¿Es eso posible? Sí, si la hoja se estira para que no haya contracción de longitud.

En ese caso, todavía existe un campo eléctrico en todos los marcos, excepto en el marco original, porque en todos los demás marcos, excepto en el resto del marco original, la hoja se contrae o se extiende, durante un tiempo que no es cero.

Hay un campo magnético en el marco de reposo original, porque un bucle de corriente (una brújula) que está en reposo en ese marco contiene cargas en movimiento, que observan una densidad de carga que ha cambiado desde la densidad de carga original.

Y una carga de prueba sentirá un campo eléctrico inducido cuando las cargas en la lámina se aceleren, porque la idea de la carga de prueba sobre dónde están las cargas aceleradas se ve afectada por la velocidad finita de la transferencia de información.

Es decir, si las aceleraciones de las cargas parecen depender de la dirección, la carga de prueba observará cambios aparentes en las densidades de carga durante la aceleración. Y como la velocidad aparente de aproximación puede ser superluminal, mientras que la velocidad aparente de retroceso no puede ser superluminal, podemos ver que las aceleraciones aparentes deben depender de la dirección.