Tu pregunta es excelente y tienes razón sobre el$\nabla$operador. Y también tienes razón sobre la insuficiencia del argumento que relatas en el libro que estás leyendo.

Para hacer el argumento con más cuidado, hay dos opciones. La primera sería averiguar cómo cambian las propias ecuaciones de Maxwell a medida que pasa a otro marco inercial. Eso requeriría muchos cálculos si comienzas desde los primeros principios. (Y por cierto, no cambian---obtienes las mismas ecuaciones pero ahora en términos de${\bf E}', {\bf B}', \rho', {\bf j}', {\bf \nabla}', \partial/\partial t'$).

Una segunda opción, matemáticamente más fácil pero que aún requiere algo de trabajo si no está familiarizado con ella, es mostrar que el$\nabla$operador y el$\partial/\partial t$operador tienen una propiedad especial: cuando los combinas en la combinación

Creo que es posible que McMahon no haya pensado con suficiente cuidado sobre lo que estaba deduciendo y lo que estaba asumiendo en su argumento. Por ejemplo, podría haber dado por sentado que las propias ecuaciones de Maxwell toman la misma forma en todos los marcos de inercia. Pero si no lo demostró primero en su libro, entonces no debería afirmar que la derivación de ondas de velocidad dada a partir de ellas prueba que la velocidad de la onda será independiente del movimiento de la fuente.

Si las ecuaciones de Maxwell tienen la misma forma en todos los marcos de referencia, entonces la velocidad de la onda se define por el producto de dos constantes físicas, independientemente del sistema de coordenadas. es decir, su libro simplemente asume implícitamente eso, pero por supuesto requiere pruebas experimentales, es decir, Michelson-Morley, etc.

Su observación es correcta, las ecuaciones de Maxwell por sí solas no implican una velocidad de la luz invariable. Uno puede hacer una transformación galileana y obtener una velocidad de la luz dependiente del observador como se muestra en la respuesta a esta pregunta . Sin embargo, la derivación de las ecuaciones de Maxwell no presupone un marco de referencia privilegiado:$\varepsilon_0$y$\mu_0$se supone que son propiedades del vacío. Sí, se debe elegir un sistema de coordenadas, pero desde el punto de vista de la derivación de las ecuaciones esto es totalmente arbitrario. Para mantener una velocidad de la luz no constante, uno tendría que hacer la suposición retroactiva después del hecho de que las coordenadas elegidas resultaron ser coordenadas estacionarias con respecto al éter.

Sin evidencia experimental no se puede concluir la constancia de la velocidad de la luz. Si el espacio contuviera un medio, el éter, para las ondas electromagnéticas cabría esperar que la velocidad de la luz en relación con el éter fuera constante. La teoría del éter fue refutada por el experimento de Michelson y Morley. Eso dejaba la relatividad especial como alternativa.

Maxwell supuso originalmente que la velocidad de la luz variaría según el marco de referencia. Esto implicaría que las ecuaciones de Maxwell solo se cumplen con respecto a algún tipo de sistema de coordenadas universal. Cuando los experimentos (como el de Michelson-Morley) indicaron que la velocidad de la luz no variaba entre los marcos de referencia inerciales, los físicos como Hendrik Lorentz descubrieron cómo transformar las ecuaciones de Maxwell de manera que mantuvieran constante la velocidad de la luz al moverse de un marco de referencia. a otro. Esto requería todo tipo de conceptos extraños como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo. En 1905, Einstein demostró que estas extrañas ideas podían derivarse de una forma muy natural desechando las viejas ideas sobre el espacio y el tiempo como algo absoluto y partiendo de la suposición de que las leyes de la física (incluidas las de Maxwell) s ecuaciones) son igualmente válidas en todos los marcos de referencia inerciales. Aparentemente, su libro simplemente adopta este punto de vista desde el principio. Ciertamente, se debe presentar un argumento estético para adoptar este punto de vista, pero obviamente, cualquier idea científica debe estar respaldada por evidencia experimental. Por lo tanto, cualquier libro que intente "derivar" leyes científicas sin hacer referencia a la experimentación, en realidad solo le proporciona argumentos engañosos como este.

Un punto relacionado, que parece muy poco conocido, es que la teoría electromagnética de Maxwell no implica que la velocidad de la luz sea$c$¡en todas direcciones! Es solo porque implícitamente ingresamos esa suposición (de isotrópico$c$) al formular las ecuaciones, que salta al final. Anderson, Vetharanium y Stedman (1998)$\S2.3.3$formular "Electromagnetismo en una sincronización más general" (es decir, una convención de simultaneidad diferente). Otro artículo que hace esto es Rizzi, Ruggiero y Serafini (2004).$\S A2$.

Habiendo dicho esto, todavía parece la elección más natural que$c$es el mismo en todas las direcciones, para todos los observadores. Es solo que Maxwell no prueba esto, ni ninguna otra teoría o experimento prueba la velocidad de la luz en un solo sentido .