Oscilación de cuerda elástica colgando del techo

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Oscilación de cuerda elástica colgando del techo

nunca13

Tengo que explorar el problema de las oscilaciones de una cuerda elástica que cuelga del techo, que puede moverse tanto en dirección vertical como horizontal. Estoy planeando resolver esto usando un método de diferencias finitas de algún tipo (la estabilidad y la rapidez del método no son importantes).

Para controlar lo que estoy tratando de hacer, primero voy a resolverlo en 1D (solo desplazamientos verticales).

La PDE que estamos resolviendo es $\mu \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = \frac{\partial F(x)}{\partial x} + \mu g$ , donde $\mu$ es la masa por unidad de longitud y F es la fuerza elástica.

Entonces divido la cuerda en n pedazos pequeños, y $h = \frac{L}{n}$ . Imaginémoslos como n puntos conectados con resortes con coeficientes k. Entonces necesitamos expresar la ecuación en términos de diferencias finitas donde $x_{i,j}$ es la posición del i-ésimo elemento en el tiempo $j\Delta t$ . Entonces, sobre cada pieza actúa una fuerza $F = k*((x_{i-1,j}-x_{i,j}) + (x_{i+1,j}-x_{i,j})-h) = k(x_{i+1,j}-2x_{i,j}+x_{i-1,j}-2h)$ .

Necesitamos la derivada de la fuerza: $\frac{\partial F(x)}{\partial x} = \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{x_{i+2,j}-2x_{i+1,j}+x_{i,j}-2h-x_{i+1,j}+2x_{i,j}-x_{i-1,j}+2h}{h} = \frac{x_{i+2,j}-3x_{i+1,j}+3x_{i,j}-x_{i-1,j}}{h}$

La derivada del tiempo es $\frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = \frac{x_{i,j+1}-2x_{i,j}+x_{i,j-1}}{(\Delta t)^2}$

Entonces $\frac{x_{i,j+1}-2x_{i,j}+x_{i,j-1}}{(\Delta t)^2} = \frac{k}{\mu} \frac{x_{i+2,j}-3x_{i+1,j}+3x_{i,j}-x_{i-1,j}}{h} +g$

A partir de aquí podemos expresar $x_{i,j+1}$ y resuelve esto recursivamente con doble bucle. Pero...

No estoy seguro de si este enfoque está bien. La recursión en el tiempo parece estar bien, obtienes $x_{i,-1}$ de la condición inicial para la velocidad y $x_{i,-1}$ de la condición inicial para la posición. Pero no sé cómo lidiar con la recursividad de 4 partes que proviene de la derivada de la fuerza. También cuando traté de programar esto (utilicé $x_{-2} = x_{-1} = x_0 = 0$ ) Obtuve algún tipo de oscilación (que se asemeja a la función de Bessel) incluso sin desplazamientos iniciales (simplemente establecí $x_i$ sa distancia h aparte). Probablemente se deba a que h se cancela en $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$ ? ¿Hice algo mal al derivar este problema? ¿Hay una mejor manera de hacerlo (de una manera que pueda traducirlo en un problema 2D más adelante)?

Espero no haber cometido ningún error al escribir los índices. Cualquier consejo e idea será apreciada.

Respuestas (2)

Oscilación de cuerda elástica colgando del techo

eli · Answer 1

Oscilaciones de una cuerda elástica

Trato de resolver este problema con un Ansatz diferente, porque creo que el método de elementos finitos (FEM) puede ser demasiado complicado.

Enfoque:

La longitud de la cuerda del péndulo $L$ dependen del "coeficiente de deformación" $\eta$

Ecuaciones:

Vector de posición r ⃗ = [L (η) porque (ϑ) L (η) pecado (ϑ)] Energía cinética T = 1 2 metro r ⃗ ˙ 2 = 1 2 metro L (η) 2 ϑ ˙ 2 Energía potencial V = metro gramo L (η) porque (φ)

$\begin{align*} &\text{Position vector}\\ &\vec{r}=\left[ \begin {array}{c} L \left( \eta \right) \cos \left( \vartheta \right) \\ L \left( \eta \right) \sin \left( \vartheta \right) \end {array} \right]\\\\ & \text{Kinetic energy }\\ &T=\frac{1}{2}\,m\,\dot{\vec{r}}^2=\frac{1}{2}\,m\,L(\eta)^2\dot{\vartheta}^2\\\\ & \text{Potential energy }\\ &V=m\,g\,L(\eta)\,\cos(\varphi) \end{align*}$ Cómo calculamos

L ( η) $L(\eta)$ ?

L (η) = L 0 + 1 η r ⃗ 2 - - \sqrt = L 0 + 1 | η | L (η) \Rightarrow L (η) = L 0 | η | 1 + | η |, por lo que si el coeficiente de deformación es muy rígido η \mapsto \infty obtenemos L (η) = L 0 como debe ser

$\begin{align*} &L(\eta)=L_0+\frac{1}{\eta}\,\sqrt{\vec{r}^2}=L_0+\frac{1}{|\eta|}\,L(\eta)\quad \Rightarrow\\ &L(\eta)=L_0\,\frac{|\eta|}{1+|\eta|}\\ &\text{,so if the strain coefficient is very stiff $\eta\mapsto\infty$ we get } \quad L(\eta)=L_0 \quad \text{as it schuld be} \end{align*}$

Figura: $L(\eta)$ contra $\eta$

$Figura $L(\eta)$ frente a $\eta$$

La ecuación de movimiento:

$\begin{align*} &\frac{d^2 \vartheta}{dt^2}+\frac{g}{L_0}\frac{1+|\eta|}{|\eta|}\,\sin(\vartheta)=0 \end{align*}$

No he encontrado el coeficiente de deformación antes. Me gustaría entender un poco más sobre esta solución en lugar de simplemente implementarla a ciegas. ¿Podría tal vez dar más detalles o tener un enlace o una recomendación de un libro donde pueda encontrar alguna teoría detrás de esto?
Quizás puedas encontrar algo de información en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus
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Chet Miller · Answer 2

Tengo problemas con su formulación general. Para una cuerda elástica, la tensión en la cuerda es

$F=EA\frac{du}{dx}$ donde u es el desplazamiento hacia abajo en relación con el extremo superior, A es el área de la sección transversal de la cuerda y E es el módulo de Young. Entonces la ecuación de balance de fuerzas sería:

$\mu\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}=EA\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\mu g$ Las condiciones de contorno serían u = 0 en x = 0 y du/dx = 0 en x = L. La tensión no perturbada sería

$F_0(x)=\mu g (L-x)$ , y el desplazamiento no perturbado sería

$u_0(x)=\frac{\mu g}{2EA}\left[L^2-(L-x)^2\right]$

Anexo 2D Si consideramos el elemento material entre s y s + ds a lo largo de la cuerda, la relación de extensión de este elemento material es

$\lambda=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2}$ y la tensión es

$\epsilon=\lambda-1=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2}-1$ En términos de desplazamientos, esto se convierte en:

$\epsilon=\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)^2}-1$ donde u es el desplazamiento del punto material s en la dirección x y v es el desplazamiento en la dirección y. El vector unitario en la dirección de la cuerda en la ubicación del material s está dado por:

$\mathbf{i_s}=\frac{\mathbf{i_x}dx+\mathbf{i_y}dy}{\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}}=\frac{\mathbf{i_x}\frac{\partial x}{\partial s}+\mathbf{i_y}\frac{\partial y}{\partial s}}{\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2}}=\frac{\mathbf{i_x}(1+\frac{\partial u}{\partial s})+\mathbf{i_y}\frac{\partial v}{\partial s}}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)^2}}$ La fuerza de tensión en la cuerda es entonces:

$\mathbf{F}=\frac{\mathbf{i_x}(1+\frac{\partial u}{\partial s})+\mathbf{i_y}\frac{\partial v}{\partial s}}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial s}\right)^2}}EA\epsilon$ El vector aceleración en el punto material s es:

$\mathbf{a}=\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}\mathbf{i_x}+\frac{\partial ^2 v}{\partial t^2}\mathbf{i_y}$

¿Cómo se traduciría eso a un caso 2D? ¿Sería correcto usar 2 ecuaciones de este tipo, una para $u_y$ y la otra para $u_x$ (menos la gravedad de c)?
Supongo que está descuidando la rigidez a la flexión de la cuerda, ¿correcto? Creo que está en contra de las reglas del foro que proporcione la derivación 2D completa. Pero, para estimular su pensamiento, dejaría que s representara la coordenada de distancia no deformada medida a lo largo de la cuerda, y dejaría que x(s,t), y(s,t) y z(s,t) representaran paramétricamente la cartesiana coordenadas del punto material s en el tiempo t. De todos modos, así es como yo personalmente lo configuraría.
Sí, se desprecia la flexión. Traté de trabajar con la parametrización que describiste antes de comenzar primero con el modelo 1D, pero supongo que lo hice de la manera incorrecta. Hice algo como lo que describí en mi pregunta, excepto que fue bastante terrible: una recursión con 4 elementos y ni siquiera fue lineal. yo porque usé $(ds+du)^2 = (x_{i+1} -x_i)^2+ (y_{i+1} -y_i)^2 $y de ahí $F = k*du$, luego hice ecuaciones separadas para las direcciones x e y, que se veían así: $\mu x_{tt} = \frac{\partial}{\partial s}(F(s)\frac{dx}{ds})$ y similar para la dirección y.
No puede usar la ecuación del resorte recto para esto, sin tener en cuenta el efecto de la longitud del resorte en la constante del resorte (que es capturada por la relación tensión-deformación). Ya que intentaste un poco de esfuerzo, continuaré un poco con el análisis 2D. Voy a entrar en la adición pronto.
Ahora estoy tratando activamente de entender lo que me dijiste, especialmente en la respuesta original. Entonces, si la fuerza es $F = EA\frac{du}{ds}$ y apunta en la dirección de s en la ubicación de ds, la componente en la dirección x es $EA\frac{du}{ds}\frac{dx {ds}$. Ahora tengo problemas para calcular 1. Cuál será la ecuación (ya que luego obtenemos 2 ecuaciones para la proyección x e y de la fuerza, en ambas habrá $\frac{\part^2 u}{\part s ^2} y la derivada de x/y con respecto a s. ¿Qué estará en el lado izquierdo? Y 2. Parece que no puedo descifrar la conexión entre dx/dy y ds
¿Va a considerar solo pequeños desplazamientos de la cuerda o también considerará grandes desplazamientos?
Lo ideal es que también sean grandes desplazamientos, pero lo suficientemente pequeños como para que no surjan complicaciones como la cuerda que forma bucles, etc.
La razón por la que pregunto es que, si solo se consideraran pequeños desplazamientos, entonces no sería necesario considerar la elasticidad de la cuerda, y la tensión podría tomarse como tal para la cuerda sin perturbaciones (es decir, aproximación de cuerda inextensible).
La idea es implementar la elasticidad y resolver el problema numéricamente. Ya he resuelto el problema con la tensión constante (es solucionable analíticamente y las soluciones para la dependencia espacial son las funciones de Bessel $J_0$, asumiendo solo desplazamientos en dirección horizontal)
Bueno. También representaría el desplazamiento x como $u=u_0+u_1$, y luego linealizaría con respecto a $u_1$ yv, donde $u_0$ es el desplazamiento de la cuerda intacta (en mi publicación original).
Mi recomendación es resolver primero el problema linealizado (con respecto a los desplazamientos). ¿Por qué? Si no puede resolver eso, nunca podrá resolver la versión no lineal. Además, ya tendrá la solución linealizada en su haber para comparar.
¿Por linealizar quiere decir desechar todas las partes de la ecuación que son de segundo orden o superior en u1?

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