¿Cómo encontrar la ecuación de movimiento de una cuerda que pasa por el centro de una mesa?

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Una cadena de longitud total yo se enrosca a través de un agujero en el centro de una mesa horizontal sin fricción y luego se suelta. ¿Cómo se haría para encontrar la ecuación de movimiento vertical de esta cuerda, utilizando la mecánica newtoniana en lugar de la lagrangiana?

En el libro de texto que estoy leyendo, la ecuación de movimiento se establece como ρ y gramo = ρ yo d 2 y d t 2 , pero no estoy muy seguro de eso. El término del lado derecho implica que el centro de masa de la cuerda está acelerando verticalmente, pero eso no siempre es cierto. Además, dado que la tensión en la cuerda no es constante en este caso (debe variar para que la cuerda horizontal se acelere), no debería cancelarse en todas partes, entonces, ¿no debería estar la tensión en algún lugar de la ecuación de movimiento también?

Sugerencia: debe comenzar escribiendo la ecuación de movimiento a partir de F = metro a .
Obtuve el gradiente de tensión vertical como ρ ( d 2 y d t 2 − gramo ) .
Bueno, la ecuación de movimiento requerida es de dirección vertical, no solo del centro de masa del sistema, que puede estar en dirección horizontal. Entonces, la ecuación dada en su libro de texto es de la parte de la cuerda en dirección vertical.

Respuestas (1)

La masa de la cuerda que cuelga debajo de la mesa es ρ y dónde ρ es la masa por unidad de longitud (asumimos que la cuerda es uniforme aquí). Entonces la fuerza sobre la cuerda es ρ y gramo .

Hay una fuerza normal de la mesa, pero esta es igual y opuesta al peso de la cuerda que permanece sobre la mesa, por lo que podemos ignorar esto.

La aceleración de la cuerda es d 2 y d t 2 . La masa de toda la cuerda es ρ yo por lo que aplicando la segunda ley de Newton a la cuerda como un todo se obtiene

ρ yo d 2 y d t 2 = ρ y gramo

No necesita preocuparse si el centro de masa de la cuerda está sobre la mesa o debajo de la mesa en cualquier momento; esta ecuación se aplicará en cualquier caso.

La tensión de la cuerda variará de ρ gramo y en el borde de la mesa a cero tanto en el extremo posterior como en el extremo colgante.
@mikestone Buen punto. He editado mi respuesta.
"La segunda ley de Newton para la cuerda en su conjunto da..." - esta es la parte que me preocupa. La cuerda como un todo no está acelerando hacia abajo si el CoM está nivelado sobre la mesa, entonces, ¿cómo podemos aplicar la segunda ley de Newton de esta manera?
@Pancake_Senpai Si no desea aplicar Newton II, use un argumento de energía: 1 2 ρ yo v 2 = 1 2 ρ y 2 gramo entonces ρ yo v d v d t = ρ y v gramo .
Gracias. Ese argumento tiene mucho sentido. Sin embargo, todavía no estoy seguro acerca de la aplicación de N2, pero el argumento de la energía es mucho más claro, así que seguiré con eso.
Hola Gandalf por qué no hay término de tensión en la cuerda???
Si está considerando la cuerda como un solo objeto, entonces la tensión en la cuerda es una fuerza interna, por lo que puede ignorarla. Puede dividir la cuerda en dos partes: la parte sobre la mesa y la parte que cuelga frente a la mesa, y luego incluir la tensión en el punto donde la cuerda sale de la mesa. Pero el enfoque de conservación de la energía es probablemente más simple.
¿Cómo encontrar la ecuación de movimiento de una cuerda que pasa por el centro de una mesa?
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