Órbita de dos cuerpos de masas iguales

Sé que estarán orbitando alrededor de un centro de masa común, es decir, el baricentro. Pero, ¿las velocidades tienen que ser iguales en magnitud y opuestas en dirección (normales a R cuando R es su distancia entre sí) para que la órbita sea estable?

Las velocidades orbitales no tienen que ser y en general no son iguales en magnitud. Lo que es igual es la velocidad angular , es decir, la tasa angular (p. ej., en$rad/sec$) que dos cuerpos estarán orbitando su baricentro común. El radio orbital,$r$, velocidad orbital,$v$, y la velocidad angular,$\omega$, están relacionados por la ecuación

$$\omega = v/r$$

Tenga en cuenta que todas estas son cantidades escalares y$v$se puede considerar como la componente del vector velocidad que es perpendicular a$r$. Dado que la conservación del momento angular implica que$\omega$permanece constante para cada cuerpo, individualmente, entonces sabemos que$v/r$también debe ser constante lo que implica que los cuerpos que orbitan más lejos del baricentro necesariamente deben estar orbitando más rápido y viceversa.

Ahora, por supuesto, esa explicación simplificada funciona para dos cuerpos. Una vez que arrojas más de dos cuerpos, las cosas se vuelven más complicadas y el baricentro puede moverse, provocando movimientos más complejos.

Creo que si la velocidad de una masa variara con respecto a la otra, se crearía un baricentro en movimiento en el que las dos masas chocarían o se lanzarían sobre otra fuera de la órbita.

Esta es una pregunta sutilmente diferente. Si una de las dos masas tuviera una velocidad orbital variable, eso implicaría que estaba ganando o perdiendo energía por algún mecanismo. Esto puede ocurrir a través de cosas como las interacciones de las mareas, como ocurre con nuestra Tierra y la Luna. Como se indicó anteriormente, la velocidad angular debe permanecer constante, lo que implica que el cuerpo cuya velocidad está cambiando también debe migrar hacia o desde el baricentro, lo que podría provocar una colisión o un escape. Dado que la velocidad orbital de la Luna se acelera a través de las interacciones de las mareas, como resultado se está alejando más. Otro ejemplo podría ser dos agujeros negros que emiten ondas gravitacionales mientras orbitan, lo que propaga energía y, por lo tanto, orbitan a velocidades, lo que hace que se acerquen hasta que chocan.

Usemos coordenadas donde el centro de masa está en el origen. Luego, en nuestro sistema de dos cuerpos donde los cuerpos tienen la misma masa, el centro de masa está a medio camino entre los dos cuerpos. Asi que

$$r_a = - r_b$$ El movimiento del centro de masa la suma ponderada de los movimientos de los constituyentes, x,
$$v_\text{center} = \sum m_x v_x/ \sum m_x$$ Si fijamos el centro de masa para nuestro sistema de dos cuerpos, de modo que sea 0 en todo momento, entonces tenemos$v_a = -v_b$ya que las masas son las mismas. Las velocidades son en todo momento opuestas pero iguales en magnitud.

El cartel anterior puede haberse confundido por el hecho de que las velocidades de las 'estrellas' no son constantes. Sin embargo, en el marco del centro de masa, los dos cuerpos ejecutan sus órbitas sincrónicamente, por ejemplo, alcanzando el periapsis al mismo tiempo.