Grados de libertad en un problema de tres cuerpos coplanar circular restringido

¿Cuántos grados de libertad tiene un sistema mecánico formado por tres cuerpos, el Sol, Júpiter y un asteroide, en el problema coplanar circular restringido de los tres cuerpos?

Sé que si consideramos los tres cuerpos como puntos materiales, cada uno tendrá tres grados de libertad, por lo que el sistema tendrá 9. Sin embargo, si los tres cuerpos se ven obligados a permanecer en el mismo plano orbital, significaría que cada uno tiene 2 grados de libertad? Entonces, ¿el sistema tendrá 6 grados de libertad en total?

¡Gracias por sus respuestas, Sres.! @DavidHammen, me gustaría preguntarle, si me permite, ¿por qué los cuerpos primarios, el Sol y Júpiter, no tienen grados de libertad?
¿Podemos también comparar el movimiento del asteroide con el de un péndulo matemático en el que el asteroide está "suspendido" por la barra formada por el Sol y Júpiter?
¡Buena pregunta en tu primer comentario!
@Augustin Primer vistazo al problema newtoniano de dos cuerpos. Este problema aborda dos masas puntuales que orbitan entre sí, siendo la única interacción entre las dos la gravitación newtoniana. Desde la perspectiva de un marco de referencia inercial newtoniano, este sistema de dos cuerpos tiene un solo grado de libertad. Esta es la razón por la que el concepto de elementos orbitales keplerianos funciona tan bien.
Lo único que es especial con respecto a los marcos inerciales newtonianos es que las aceleraciones ficticias se desvanecen en dichos marcos. Los marcos de referencia no inerciales son igualmente válidos; uno simplemente necesita dar cuenta de esas aceleraciones ficticias. En el Problema Circular Restringido de Tres Cuerpos (CR3BP), todos (y me refiero a todos ) los análisis se realizan desde la perspectiva del "marco sinódico". Este es un marco giratorio cuyo eje de rotación es el mismo que el vector de momento angular de los dos cuerpos en órbita que gira a la misma velocidad que la velocidad orbital de los dos cuerpos.
Entonces, en el marco sinódico, los dos cuerpos más grandes no se mueven en el caso de órbitas circulares. En otras palabras, los dos cuerpos más grandes tienen cero grados de libertad en este marco.
Sin embargo, @DavidHammen Júpiter, el sol y un asteroide no se mueven en ese marco. Se mueven a través del espacio llano de Eucliden en 3D sin límites materiales. Júpiter puede, como todos los planetas, salir del plano.
@DescheleSchilder Lea sobre el problema circular restringido de tres cuerpos. He terminado.
@DavidHammen Yo también. Pero aún no has respondido la pregunta de si los planetas no pueden salir del avión.
@DescheleSchilder El problema de tres cuerpos coplanar restringido es un modelo de juguete, y es totalmente válido hacer preguntas sobre ese modelo sin centrarse en las imperfecciones o desviaciones de la realidad. Estás diciendo "Bueno, el modelo no es totalmente realista", y aunque eso es cierto, no es relevante aquí. Como otro ejemplo: los cuerpos negros son buenos modelos para algunos objetos, y podemos entender los objetos tratándolos como cuerpos negros, aunque no lo sean. Pero no ayuda eludir una pregunta diciendo "Bueno, el modelo no es perfecto".
@ HDE226868 Estás comparando naranjas con manzanas. ¿Puede un planeta salirse de su plano de movimiento? Parece una pregunta difícil de responder... Ya la he hecho cinco veces.
@ HDE226868 No digo que el modelo no sea perfecto. Es un modelo perfecto pero un espacio 2d no existe en el mundo real.
@DescheleSchilder Deja de pensar en planetas. La pregunta se refiere al CR3BP, que es una idealización que usa masas puntuales y un universo que comprende solo dos cuerpos con masa significativa. (El tercer cuerpo tiene una masa infinitesimal). Debido a que las órbitas de muchos de los planetas son casi planas y casi circulares, el CR3BP sigue siendo una aproximación muy útil.
@DescheleSchilder No se puede salir del plano en este modelo por la definición de las restricciones del problema, y ​​eso es todo lo que importa.
@ HDE226868 Pero puede usar cualquier par de coordenadas xy xz o yz que pueda hacer. Si el movimiento en una ditectio estuviera restringido, no podrías hacer eso. De todos modos, no es tan importante :) Ï elige el enfoque físico y tú las matemáticas (y no me digas que solo hay un enfoque... :)
@DescheleSchilder En el modelo de masa puntual de dos cuerpos, la fuerza gravitatoria newtoniana es instantánea y puramente radial. Esto significa inherentemente que las órbitas del problema de dos cuerpos son estrictamente planas bajo la gravedad newtoniana. Agregar un tercer cuerpo de masa despreciable (infinitesimal) no cambia esto. ¿Por qué estás siendo tan difícil?
@ DavvidHammen Lo que pasa es que todavía tienen la libertad de moverse en las dos direcciones angulares también. ¿Qué prohíbe esta libertad?
El hecho de que se muevan sólo en dos grados (o menos) no les quita esa libertad. ¡No sería capaz de escapar de la prisión!
¡Gracias por tu ayuda y paciencia!
Sabias últimas palabras... 1gracias...

Respuestas (1)

En el caso más general, hay tres grados de libertad (espaciales) para cada cuerpo, para un total de 9 grados de libertad.

El problema circular restringido de los tres cuerpos obliga a las dos masas más grandes a estar en órbitas perfectamente circulares definidas por sus masas y los radios orbitales elegidos (el tercer cuerpo tiene una masa despreciable y, por lo tanto, no influye en sus órbitas), por lo que no tienen grados de libertad.

En el problema circular restringido de tres cuerpos plano (o "coplanar"), no hay movimiento ni momento en el z dirección permitida (donde z es perpendicular al plano orbital), por lo que sólo quedan dos grados de libertad: el X y y posición del tercer cuerpo.

(El problema circular restringido de tres cuerpos define los cuerpos como masas puntuales, por lo que no hay grados de libertad adicionales para cosas como la rotación).

¿Sin grados de libertad? Eso hace que sea bastante difícil moverse por una masa. Está cometiendo el error de confundir un estado de movimiento con una restricción de los grados de libertad inducida por el material y por los límites. No existe tal límite en este problema, por lo que todas las masas simplemente tienen tres grados de libertad.
Vuelva a leer mi respuesta: dije que el problema restringido eliminaba los grados de libertad de los dos objetos masivos; las restricciones planas significa que hay dos grados de libertad ( X y y ) para el tercer objeto. Y estás confundiendo un problema matemático con la realidad.
Pero no estamos discutiendo matemáticas aquí.
@DescheleSchilder El problema circular restringido de tres cuerpos es matemática. Siempre se resuelve en el marco sinódico, un marco de referencia no inercial que gira con la órbita de las dos masas más grandes entre sí, de modo que ninguna de las dos masas más grandes se mueve en ese marco de referencia. Sin movimiento = cero grados de libertad. La masa de prueba es un objeto con masa despreciable; no perturba las órbitas de masas más grandes. El cuerpo de prueba es el único cuerpo que tiene algún grado de libertad. Con el movimiento restringido al plano orbital de los cuerpos más grandes, solo hay dos grados de libertad.
En otras palabras, esta respuesta es correcta.
@DavidHammen No digo que no sea correcto. Eso depende. La pequeña masa puede moverse en todas las direcciones. Esto significa que tiene tres grados. El sma se mantiene para las otras dos masas. ¿Qué les impide moverse en otras direcciones?
Además de eso, los cuerpos también tienen un grado de libertad de rotación (los reales). Puedes convertirlo en un problema de matemáticas, pero este es un sitio de astronomía. ¡Si hubiera personas viviendo en los cuerpos, estarían muy decepcionados al descubrir que no pueden moverse en el espacio! Supongo que es la reoutation lo que habla aquí (y el uso altamente sofisticado del lenguaje que cubre lo obvio).
@DescheleSchilder El problema circular restringido de tres cuerpos (CR3BP para abreviar) es un ejercicio matemático. Puede buscar en Google "CR3BP" y encontrar muchos artículos sobre este concepto. En este problema, los objetos son masas puntuales, por lo que no hay grados de libertad de rotación. Las dos misas más grandes están congeladas en el marco sinódico. Este es el marco en el que aparecen los cinco puntos de Lagrange (también conocidos como puntos de Lagrange, también conocidos como puntos de libración). Si bien esta es una simplificación matemática, esos puntos de Lagrange son reales, incluso en el Problema de tres cuerpos restringido elíptico (ER3BP para abreviar).
@DavidHammen Si el movimiento está en un plano matemático 2d (sin un tercero), entonces es obvio que hay dos grados para cada masa y no cero para dos y dos para uno como se indica en la primera respuesta. Los dos puntos pesados ​​circulares todavía tienen dos grados de libertad. ¿De qué otra manera pueden moverse en un círculo alrededor del otro? El problema puede estar bien documentado, pero eso no quita el hecho de que no es físico.
@DescheleSchilder Desde la perspectiva de un marco de inercia newtoniano, solo hay un grado de libertad en el problema newtoniano de dos cuerpos. Kepler dedujo esto sin explicar por qué. Newton explicó más tarde por qué este era el caso. En el CR3BP, ese singular grado de libertad se puede eliminar fácilmente.
@DavidHammen Una masa que cae directamente a la tierra cae en una dirección. Pero dependiendo de dónde dejes caer la masa, tiene tres posibilidades independientes de caer. Así que tres grados de libertad.
Así como una partícula que se mueve en línea recta ejecuta solo uno de sus grados de libertad, así son las masas en el plano. Puede usar dos coordenadas cualesquiera para describir su movimiento. xy xz yz. De todos modos, es hora de seguir adelante. He terminado.
Grados de libertad en un problema de tres cuerpos coplanar circular restringido
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