Calcule el ángulo de la trayectoria de vuelo dado el semieje mayor, la excentricidad y la distancia desde el punto focal

Un método para calcular el ángulo consiste en utilizar la ley de reflexión de la elipse . La luz de un foco se refleja en la elipse hacia el otro foco.

Por lo tanto, en la imagen de abajo (por el autor), el vector radial desde el foco$F_1$se refleja en$P$en el segundo foco$F_2$, formando un triángulo cuyo tercer lado es la línea entre los focos.

Tu ángulo de vuelo$\psi$es el ángulo de incidencia entre el vector radial y la línea discontinua que es perpendicular a la trayectoria de vuelo (tangencial), y también el ángulo de reflexión hacia el segundo foco. Así, el ángulo en el triángulo en$P$medidas$2\psi$.

Ahora aplicamos la Ley de los Cosenos a este triángulo:

$\cos2\psi=\dfrac{PF_1^2+PF_2^2-(F_1F_2)^2}{2(PF_1)(PF_2)}$

$=\dfrac{r^2+(2\alpha-r)^2-4\alpha^2\epsilon^2}{2r(2\alpha-r)}$

En una órbita circular tienes$\epsilon=0$y$r=\alpha$, obligando al coseno a$1$como se esperaba. Para una órbita elíptica cuando estás en el eje menor ($r=\alpha$) obtienes una fórmula para el ángulo de vuelo máximo :

$\cos2\psi_{max}=1-2\epsilon^2$

O, a partir de la fórmula del doble ángulo para el coseno, simplemente

$\sin\psi_{max}=\epsilon$

Si su elipse es un círculo, el ángulo de trayectoria de vuelo es 0. Ya está.

De lo contrario, para una órbita elíptica, comience con la ecuación polar que relaciona la distancia radial$r$, verdadera anomalía $\theta$, semieje mayor$a$, y excentricidad orbital$e$:

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$

Resolviendo para$\theta$nos da lo siguiente:

$$\theta = \arccos\left({\frac{-ae^2+a-r}{er}}\right)$$

Tenga en cuenta que hay dos posiciones en una órbita elíptica con la misma distancia radial: una donde la nave espacial asciende y otra donde desciende. Esta ecuación te dará los valores positivos de True Anomaly gracias a la$\arccos$función, donde la nave espacial está ascendiendo de periapsis a apoapsis.

El ángulo de la trayectoria de vuelo ahora se puede calcular como

$$\phi=\pm \arctan\frac{e \sin \theta}{1 + e \cos \theta}$$

Si la nave espacial asciende desde el periapsis hasta el apoapsis, el ángulo de la trayectoria de vuelo será positivo. Si está descendiendo, el ángulo de la trayectoria de vuelo será negativo.

El ángulo de la trayectoria de vuelo es simplemente el ángulo entre el vector de velocidad y el vector perpendicular al vector de posición. Una manera fácil de visualizar esto: si la órbita fuera un círculo, este ángulo sería cero. Por lo tanto, el ángulo se debe a la contribución del movimiento hacia adentro/hacia afuera del objeto alejándose del punto focal.

El semieje mayor ($a$) y excentricidad ($e$) definir la forma de su órbita. Usando esta información, calcule lo siguiente (estoy omitiendo matemáticas y fórmulas básicas):

1. Dirección del vector tangente al eclipse. Esto sería una función de la posición.$(x,y)$y los propios parámetros de la elipse.
2. Perpendicular al vector de posición (el punto focal es el origen). Esto es muy sencillo.

Con estos dos vectores en la mano, puedes usar su producto escalar para obtener el ángulo entre ellos. Este es el ángulo de vuelo.

FWIW, aquí está la fórmula para convertir el conjunto de parámetros de directriz de excentricidad de enfoque en la fórmula cuadrática generalizada$Ax^2 +Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$. Esto está en el lenguaje R.

FEDtoA <-function(focus = c(0,0), directrix = c(1,0,1), eccentricity = 0.5 ) {
h = focus[1]
v = focus[2]
da = directrix[1]
db = directrix[2]
dc = directrix[3]
ec = eccentricity^2
# sign flip from GFG page
k = (da^2 + db^2)
parA = k - ec*da^2 # A term
parA[2] = -2*ec*da*db  # B term,  and so on
parA[3] = k -ec*db^2
parA[4] = -2*h*k - 2*ec*da*dc
parA[5] = -2*v*k - 2*ec*db*dc
# if dc is zero get degenerate case because F is zero? yes -- not a bug. 
parA[6] = -ec*dc^2 + k*(h^2 + v^2)

return(invisible(parA)) 
}

Eso debería facilitar la generación de la curva de sección cónica y, por lo tanto, derivar el ángulo desde un punto dado en el suelo.