Operadores autoadjuntos e ilimitados en QM

Si$\cal H$es un espacio de Hilbert complejo, y$A :D(A) \to \cal H$es lineal con$D(A)\subset \cal H$subespacio denso, hay un único operador, el adjunto $A^\dagger$de$A$satisfactorio (esta es su definición)

$$\langle A^\dagger \psi| \phi \rangle = \langle \psi | A \phi \rangle\quad \forall \phi \in D(A)\:,\forall \psi \in D(A^\dagger)$$ con: $$D(A^\dagger) := \{ \phi \in {\cal H}\:|\: \exists \phi_1 \in {\cal H} \mbox{ with} \: \langle \phi_1 |\psi \rangle = \langle \phi | A \psi\rangle \:\: \forall \psi \in D(A)\}$$ El operador densamente definido anterior $A$se dice que es autoadjunto si $A= A^\dagger$. Un operador densamente definido que satisface $$\langle A \psi| \phi \rangle = \langle \psi | A \phi \rangle\quad \forall \psi,\phi \in D(A)$$ se dice que es simétrica . Es claro que el adjunto de $A$, en este caso, es una extensión de $A$sí mismo.

Un operador simétrico es esencialmente autoadjunto si$A^\dagger$es autoadjunto. Es posible probar que es equivalente a decir que$A$admite una extensión autoadjunta única (dada por$(A^\dagger)^\dagger$).

El operador$-i\frac{d}{dx}$con dominio dado por el espacio de Schwartz${\cal S}(\mathbb R)$(pero todo lo que sigue es válido también si el dominio inicial es$C_0^\infty(\mathbb R)$) es simétrica y esencialmente autoadjunta. Ambas cosas$-i\frac{d}{dx}$y el verdadero operador de cantidad de movimiento$p:= \left(-i\frac{d}{dx}\right)^\dagger$no están acotados. Ambos operadores no admiten valores propios ni vectores propios.

el espectro de$p$es continua y coincide con toda la recta real.

Pasando a la transformada de Fourier-Plancherel, el operador$p:= \left(-i\frac{d}{dx}\right)^\dagger$resulta coincidir con el operador multiplicativo$k \cdot$.

Con respecto a la cuestión de la falta de límites de la mayoría de los operadores cuánticos autoadjuntos, el punto es que un célebre teorema (una de las posibles versiones del teorema de Hellinger-Toeplitz) establece que:

un operador autoadjunto (densamente definido)$A :D(A) \to \cal H$está acotado si y sólo si$D(A)= \cal H$

y casi todos los operadores de QM, por varias razones, no están definidos en todo el espacio de Hilbert (a menos que el espacio sea de dimensión finita). Estos operadores no están inicialmente definidos en todo el espacio de Hilbert porque normalmente son operadores diferenciales. Los operadores diferenciales necesitan cierto grado de regularidad para ser aplicados en una función, mientras que el elemento genérico de un$L^2$el espacio es increíblemente no regular (se define hasta conjuntos de medida cero). La subsiguiente extensión a operadores autoadjuntos explota una noción más débil de derivada (derivada débil en el sentido de Sobolev) pero el dominio más grande así obtenido es, sin embargo, muy pequeño con respecto al total.$L^2$espacio.

APÉNDICE. En vista del notable comentario de Andreas Blass, creo que vale la pena enfatizar otra razón física para la falta de límites de algunos operadores autoadjuntos que representan observables en QM.

En primer lugar el espectro$\sigma(A)$de un observable autoadjunto representado por un operador autoadjunto$A$tiene el significado físico del conjunto de todos los valores posibles de lo observable. Entonces, si el observable toma un conjunto ilimitado de valores , el espectro$\sigma(A)$debe ser un subconjunto ilimitado de$\mathbb R$.

En segundo lugar, si$A$es un operador autoadjunto (más generalmente, un operador normal), el resultado importante es cierto:

$$||A|| = \sup\{ |\lambda| \:|\: \lambda \in \sigma(A)\}$$ incluyendo los casos ilimitados donde ambos lados están $+\infty$simultaneamente.

Entonces, si un observable, como$p$o$x$o el momento angular, toma un conjunto ilimitado de valores , el auto-adjunto que lo representa tiene que ser necesariamente ilimitado (y por lo tanto definido en un subespacio denso propio del espacio de Hilbert).