¿Se puede resolver la ecuación de Laplace usando la transformada de Fourier en lugar de la serie de Fourier?

Perdón por el texto largo, pero no puedo hacer mi pregunta más compacta.

Cualquier función periódica puede ser expandida por Fourier. Por lo general, dicen en los libros de física matemática, si la función no es periódica, usamos la transformada de Fourier, que es más general que la expansión de la serie de Fourier.

Si la transformada de Fourier es más general, ¿no podemos usarla para expandir funciones periódicas también? ¿Por qué las funciones periódicas en los libros de texto solo se expanden de Fourier pero no se transforman de Fourier?

Más específicamente, los problemas de valores en la frontera que resolvemos en electromagnetismo (como en el capítulo 3 de Griffiths) en los que, por ejemplo, se especifica algún potencial en la frontera de alguna región y queremos encontrar el potencial dentro de esa región, este problema generalmente se resuelve mediante la separación de variables y luego eventualmente aplicando la expansión de la serie de Fourier para ajustar las condiciones de contorno. Esos problemas nunca se resuelven usando la transformada de Fourier, ¿por qué? ¿Es porque en la expansión de la serie de Fourier uno tiene control para truncar la serie con la precisión que uno quiera, mientras que para la transformada de Fourier uno no puede hacer eso? ¿o es una cuestión de convergencia?

¡Si ambos son viables, debe haber algún criterio sobre el uso de uno sobre el otro!

Si se puede señalar una referencia en la que la ecuación de Laplace se resuelve una vez con la serie de Fourier y una vez con la transformada de Fourier, se lo agradeceremos mucho.

Respuestas (3)

La transformada de Fourier de una función periódica es una función delta en cada posición entera con un coeficiente igual al valor de la serie de Fourier correspondiente. Puede mostrar esto multiplicando la función por una Gaussiana muy amplia y tomando el límite. La teoría matemática se hace rigurosa en el tema de las distribuciones temperadas.

Veo. Pero, ¿por qué resolver la ecuación de Laplace para encontrar el potencial eléctrico en algún dominio se realiza a través de la serie de Fourier y no de la transformada de Fourier?
@Revo: es tradicional usar el dominio utilizable más pequeño para resolver la ecuación. Puede usar las transformadas de Fourier para hacer lo que hace con las series de Fourier, pero luego está calculando con los coeficientes de las funciones delta. Los métodos son idénticos. Dado que cualquier función periódica también es periódica con el doble del período, también puede preguntarse por qué usa el período fundamental, y no el doble del período fundamental, para hacer la serie de Fourier. Es solo una convención natural.
Esto es extraño, ¿por qué nadie en los libros nunca dijo que esto es una convención? Se explica explícitamente que hay 2 tipos de cargas eléctricas y lo que llames negativo o positivo es una convención. Estándares dobles !
@Revo: Esta es una convención tan natural que nadie se molesta en pensar en ella como una convención --- ¿por qué sería tan perverso como para usar siete veces el período como su período? ¡Es ridículo! Al hacer matemáticas, uno tiene que hacer tales elecciones todo el tiempo, y uno tiene que desarrollar un olfato para las convenciones naturales. Por ejemplo, algunas secuencias se etiquetan comenzando en 0 y otras comenzando en 1, pero nadie etiqueta una secuencia que comienza en 11: A 11 , A 12 , A 13 , . . . sin una buena razón. ¿Por qué no? Es mejor dejar que el lector descubra algunas cosas.

Para que exista la transformada de Fourier de una función, su valor absoluto debe ser integrable, ∫ − ∞ ∞ | F ( X ) | d X < ∞ . El valor absoluto de una función periódica no es integrable en un dominio infinito, por lo que no hay transformada de Fourier. [Para disfrutar de todo el poder del análisis de Fourier, la función debe ser integrable al cuadrado, ∫ − ∞ ∞ | F ( X ) | 2 d X < ∞ .]

Para la expansión de Fourier de una función periódica, la función debe ser integrable en el dominio finito de un período de la función, ∫ 0 L | F ( X ) | d X < ∞ , en lugar de sobre toda la línea real, que serán muchas o la mayoría de las funciones periódicas que se encuentran en los problemas de electromagnetismo.

Entonces, la diferencia entre una transformada de Fourier y una expansión de Fourier de una función periódica es que la integración está en un dominio infinito, respectivamente, un dominio finito.

Las transformadas/expansiones de Fourier se adaptan bien a los sistemas de coordenadas rectilíneas, pero generalmente se adaptan menos a los problemas en los que las condiciones de contorno seleccionan sistemas de coordenadas curvos. No obstante, el análisis de Fourier suele utilizarse como primera aproximación, como cuando los campos electromagnéticos se dirigen a lo largo de una guía de ondas curva.

Como Ron señala correctamente, la transformada de Fourier existe en un sentido distributivo. Esto no es solo pedantería: la incapacidad o la falta de voluntad para emplear métodos distributivos haría que la mayoría de los tratamientos de la física fueran ininteligibles.
@BebopButUnsteady, es cierto. Las distribuciones nos llevan a un nivel matemático significativamente más alto, pero está bien usarlas.
@PeterMorgan Solo estoy tratando de entender cuáles son los casos en los que se pueden usar las series de Fourier y los casos en los que se puede usar la transformada de Fourier para resolver la ecuación de Laplace, los trucos del oficio o las mejores prácticas dicen (porque hasta ahora solo he visto Fourier serie que se utiliza en los libros de texto estándar. Si se puede señalar un ejemplo o una referencia donde ambos se utilizan en el mismo problema, será muy apreciado). Debe haber ventajas y desventajas para cada uno en diferentes situaciones, no puede deberse simplemente a convenciones como lo dijo Ron en otras publicaciones.
@BebopButUnsteady Perdón por molestar, pero podría aclarar su última oración, mi inglés no es perfecto :)
@Revo Un problema con las distribuciones es que los novatos las usan como si fueran funciones. Pero, en general, no podemos multiplicar distribuciones, por lo que no se pueden usar en problemas no lineales sin cuidado. en.wikipedia.org/wiki/Generalized_function tiene algo sobre algunas de las formas en que las personas han abordado esto, pero no es para los débiles de corazón. Uno no tiene que preocuparse por estos asuntos si se apega a las series de Fourier cuando existen condiciones de contorno periódicas o naturales. Cuando el límite está en el infinito, uno usa distribuciones, con cuidado, según sea necesario.

Probablemente puedas responder a esta pregunta tú mismo. Sabes que cualquier función periódica se puede expandir en una serie de Fourier. Si transformas Fourier dicha serie, ¿qué obtienes?

Pista:

∫ mi i norte X mi − i pag X d X = 2 π d ( pag − norte )

lo siento pero eso no responde ninguna de mis preguntas
¿Se puede resolver la ecuación de Laplace usando la transformada de Fourier en lugar de la serie de Fourier?
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