¿Números naturales reconocibles para mensajes extraterrestres?

Estoy interpretando esta pregunta como "¿Existe un número natural grande (más o menos), cuyo conocimiento es evidencia de matemáticas avanzadas y que, en cierto sentido, es universal?"

La teoría de grupos es de fundamental importancia. Surge naturalmente del análisis de la simetría, una propiedad básica de la naturaleza. Entre los grupos, algunos no tienen subgrupos normales y se dice que dicho grupo es simple. Algunos grupos simples están en familias y se dice que algunos son "esporádicos".

Es un hecho importante que sólo hay un número finito de estos grupos esporádicos, por lo que existe un grupo más grande. Dado que los grupos surgen naturalmente, y se puede calcular el tamaño del grupo más grande. Proporciona (en las palabras de la pregunta) un "número entero positivo, que no es demasiado corto" y una especie con conocimientos matemáticos puede "reconocerlo como un valor especial algo único". Afirmo que cualquier especie suficientemente avanzada conocería este valor (por supuesto que no puedo demostrarlo, pero lo mismo puede decirse de cualquier otro valor: pi, e, o los números primos).

El grupo más grande de este tipo se llama grupo de monstruos . Tiene

808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000

elementos. Esta secuencia de dígitos, aunque quizás no sea obvia para un no experto, sería fácilmente reconocible como algo especial. Comparte las propiedades de pi y e:

• Unicidad
• universalidad
• Diferencia
• Importancia

Además, cada dígito del 0 al 9 aparece al menos una vez.

Hay una secuencia de grupos esporádicos simples, pero esto intenta responder a la pregunta OP sin invocar una secuencia, sino con un solo número significativo grande.

Así va la escena:

Científico A: Pensamos que habíamos calculado los dígitos, pero luego obtuvimos esta larga secuencia aleatoria. En nuestra notación es el número 808, ... 000.

Científico B: Me pregunto si significa algo. [Google] Es la orden del grupo de monstruos. ¡Estamos en lo correcto! Entendemos su sistema numérico y sabemos que son capaces de matemáticas avanzadas.

(Google solo es necesario si un personaje de David Laughlin no está disponible)

Una secuencia de ternas pitagóricas debería hacerlo.

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 8, 15, 17
• 9801, 1980, 9999
• 1001, 501000, 501001

El comienzo de la secuencia es muy reconocible en patrón y funciona con un solo dígito. Los dos segundos son los siguientes dos triples pitagóricos, conceptos básicos de geometría. Luego te metes en los más grandes. Las matemáticas ($a^2 + b^2 = c^2$) es fácil de verificar y le permite saber que tiene la notación posicional correcta. Aún mejor, puede elegir triángulos arbitrariamente grandes para escalarlos si hay algo especial en su sistema de notación en, digamos, la marca de 1 millón, o lo que sea.

Sospecho que puede estar pensando demasiado en esto. ¿Por qué no simplemente transmitir una progresión geométrica simple como, digamos:

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 38741042...

Los primeros números son lo suficientemente pequeños como para que el patrón sea fácil de detectar, pero aumentan rápidamente. Hay una relación uno a uno simple entre pares de números sucesivos (el siguiente es 3 veces el anterior) y los números en esta secuencia también son reconocibles por sí mismos, siendo los únicos números que no son divisibles por ningún primo que no sea 3 .

De hecho, la base de la progresión se puede elegir de manera más o menos arbitraria, pero sugeriría que preferiblemente debería ser:

1. razonablemente pequeño, para que la secuencia no crezca demasiado rápido,
2. un primo, de modo que cada número en la secuencia tiene una descomposición en factores primos simple, y
3. no es igual a (o comparte un factor común con) la base de su sistema numérico, para ejercitar adecuadamente el sistema de decodificación del receptor.

Por lo tanto, para números de base 2 (o base 2 ⁿ ) o base 10, 3 sería una buena elección de base para la progresión. Si está utilizando, por ejemplo, un sistema numérico de base 3, las potencias de 2 serían una buena secuencia de prueba. Si estás usando, digamos, base 60 como lo hicieron los antiguos babilonios, prueba las potencias de 7.

En primer lugar, recomiendo OEIS , la Enciclopedia en línea de secuencias enteras. Podríamos publicar respuestas todo el día aquí, pero OEIS las tiene catalogadas.

Los números primos pueden ser aburridos, pero no los descarte. Son una característica muy singular de los números naturales. Si buscaba claridad, el aburrimiento es una virtud. Quieres que sea aburrido. Aburrido y no malinterpretable.

Las secuencias son definitivamente la clave. Un número sin contexto no tiene sentido. Las secuencias dan contexto de forma natural a cada número.

Si todo lo que quisieras fueran "números grandes", podrías divertirte con la función de Ackermann . Esos crecen rápido, pero son muy especializados. Otra opción podría ser tener secuencias paralelas que se brinden contexto entre sí. Considerar

x    1   2   3   4   5    ...
x+x  2   4   6   8   10
x*x  1   4   9   16  25
x^x  1   4   27  256 3215

Estas series crecen rápido. Además, puede mantener el patrón en marcha, pasando por las hiperoperaciones. Puedes hacer tetración ( 1 4 7625597484987... ¡Oh, vaya, eso saltó rápido!), pentación (una serie que crece tan rápido que nuestra notación posicional bien podría ser un sistema de conteo primitivo que cuenta "1, 2, muchos") o cualquier función exótica similar. .

Otro giro en los números primos podría ser ofrecer factorizaciones en números primos de grandes números compuestos. Dado que confiamos en que la factorización es difícil para el cifrado RSA, dichos conjuntos ciertamente captarían los intereses de las personas.

¿Qué pasa con la serie de Fibonacci ?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765...

Aparecen con frecuencia en la naturaleza (al menos en la Tierra), son muy fáciles de calcular y reconocer, y crecen con relativa rapidez.

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

Entonces, ¿quieres una secuencia numérica que alguien que no tiene idea de cuál es tu sistema numérico pueda reconocer y extraer tu sistema numérico de ella? ¿Supongo que está utilizando un sistema posicional de base fija como lo haría una civilización Tipo I+ normal? Permítanme sugerir... los factoriales.

• ¿Los números primos crecen demasiado lento para ti? No temáis. Los factoriales dejarán atrás a los números primos, e incluso a las secuencias de potencia más ambiciosas.
  Pocas secuencias crecen más rápido que los factoriales, y desea una secuencia cuyos valores se puedan escribir de todos modos, ¿no es así?
• No demasiado arbitrario.$a_n = \prod_{i=1}^n i$no tiene parámetros para ajustar, excepto quizás el$i=1$, y retocar eso no logra nada bueno. Esto aumenta la posibilidad de que su destinatario acierte y decodifique su secuencia con éxito.
• Los factoriales tienen un patrón reconocible en su representación numérica, sin importar la base numérica que elija: esas largas cadenas de ceros que abarcan la mitad de cada número, con ceros nuevos que aparecen a intervalos regulares. No solo le permite a su destinatario reconocer el cero, también les permite reconocer la coma e incluso reducir su base. Muy importante. Una vez que conocen la secuencia y la coma, el resto es pan comido.
• Hay suficiente entropía para que cada dígito que tengas aparezca lo suficientemente pronto y pueda ser reconocido. No querrás que las personas adivinen si 삼 es 3 y 팔 es 8, o viceversa, cuando finalmente aparezcan en el mensaje. Los factoriales crecen tan rápido que solo necesitas tantos números como símbolos haya en tu base. Si bien es similar en el caso de la mayoría de las secuencias y el caos está de tu lado, algunas secuencias fallan espectacularmente. 1, 2, 4, 10, 20, 40, 100...? No es bueno.

Es posible que aún desee agregar la secuencia de sus dígitos en orden a su mensaje. No es estrictamente necesario, pero muestra al otro lado que eres un buen tipo y, si estás usando un sistema numérico con dígitos de valor negativo (te estoy mirando, setunianos), esta secuencia seguramente ayudará a aclarar eso.

Me sorprendió que nadie mencionara los números catalanes para una posible secuencia. Especularía que la inferencia de un sistema binario de numeración/conteo expresado en una secuencia combinatoria sugiere una comprensión de los sistemas lógicos y la computación binaria, pero no supone un conocimiento más avanzado. Aunque tal vez mi opinión sea sesgada. Es cierto que no conozco la historia de la teoría de grupos, aunque la he visto mencionar brevemente al leer sobre la teoría E8.

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Interpretaciones útiles de los números catalanes

Los números catalanes se presentan en la serie OEIS A000108 .

Los primeros números de la serie son 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, ...

Haciendo referencia al número Cn como el enésimo número catalán, donde { C0, C1, C2, ... } = { 1, 1, 2, ... } aquí hay algunas interpretaciones (las citas son del artículo de wikipedia):

• Cn cuenta el número de expresiones que contienen n pares de paréntesis que coinciden correctamente:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Las aplicaciones sucesivas de un operador binario se pueden representar en términos de un árbol binario completo. (Un árbol binario enraizado está lleno si cada vértice tiene dos hijos o ninguno). De ello se deduce que Cn es el número de árboles binarios completos con n + 1 hojas:

• Cn es el número de formas diferentes en que un polígono convexo con n + 2 lados se puede cortar en triángulos conectando los vértices con líneas rectas (una forma de triangulación de polígonos). Los siguientes hexágonos ilustran el caso n = 4:

• Curiosamente, Spenser Mortensen ha descrito un medio para identificar (serializar) de forma única cualquier árbol binario utilizando números catalanes en una especie de función hash, proporcionando un único valor numérico que puede representar de forma única la estructura completa de un árbol binario dado.

Justificación para reducir la sofisticación de la secuencia simbólica elegida

1. La máxima, a menudo atribuida a Einstein, pero parafraseando, "Todo debe ser lo más simple posible, pero no más simple", creo que se aplica aquí. Lo expresaría de esta manera, digamos que es seguro asumir que el destinatario de dicho mensaje necesitaría algún tipo de cálculo para recibir y decodificar el mensaje, llámelo un requisito mínimo. Sin embargo, como alguien que envía un mensaje de este tipo, no asumiría que el destinatario tiene más que el conocimiento necesario para recibir y decodificar dicho mensaje. Si el mensaje en sí mismo es la línea de base, más bien la necesidad de enviar un mensaje y que sea recibido es el requisito mínimo, entonces ¿por qué imponer un requisito más alto al destinatario?

2. Dada la naturaleza del contenido descrito que se transmitirá, parece que una buena parte del mismo puede ser susceptible de codificación en función de la naturaleza de los propios números catalanes. Ciertamente, cualquier cosa que tenga que ver con árboles binarios u operadores binarios (como representaciones de recurrencias de suma, resta, multiplicación y división) lo sería. Quizás también otras pruebas geométricas.

El número natural más reconocido basado en mis recuerdos del grado 3 es 58008.

Ahora, esto parece una tontería, pero un problema grave es que estamos asumiendo que las personas con las que nos estamos comunicando tienen valores y conocimientos similares. Es muy, muy difícil encontrar un número natural natural; los números naturales en este universo son en realidad aproximaciones de fenómenos aparentemente continuos.

Por lo que podemos decir, incluso el recuento de protones o neutrones en un átomo es solo una aproximación (muy precisa) de lo que "es" allí.

Si limitamos cuán alienígenas son los extraterrestres, son organismos de tipo biológico construidos a partir de la vida basada en la química, entonces tenemos un lugar para comenzar.

Asumir que las funciones exponenciales son especiales para ellos como lo son en nuestras matemáticas puede no estar justificado. Como un ejemplo realmente trivial, los números triangulares podrían verse como "tan naturales" como los números cuadrados, y lo han sido en culturas anteriores. La física resultante puede ser incómoda, pero es posible que estén usando una forma diferente de modelar la física que nosotros. (Hay muchas formas de modelar la física humana; un extraterrestre desconocido podría preferir otras diferentes, o incluso descubrir otras diferentes).

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Personalmente, no enviaría un gran número natural hasta después de comunicar los algoritmos. Luego describiría un algoritmo que genera un gran número natural y lo comunicaría.

Las ecuaciones son buenas porque puedes describir cómo obtener el número usando matemáticas, luego repetir el número usando una notación diferente y hacer esto varias veces. Posiblemente obtener la noción de "igual" es clave.

Intenta comunicarte usando tantas formas extrañas como puedas. Emita "piedras de Rosetta" de mensajes, muchos mensajes que "todos significan lo mismo". Dibuja imágenes usando varios formatos simples. Construya los cimientos de las matemáticas de más de una manera. Trate de describir cosas que tanto el lector como el escritor puedan tener en común, como las líneas de emisión de hidrógeno.

Ligeramente menos aburridos que los primos, de crecimiento más rápido que los factoriales y menos oscuros que los grupos de monstruos, son los primoriales : productos de los primeros$n$primos

$$p_n\# \equiv \prod_{k=1}^{\infty} p_k$$

Dónde$p_n$es el$n$th prima.

Los primeros primoriales, de OEIS :

$$\matrix{ n & p_n\# \\ 0 &\hfill 1 \\ 1 &\hfill 2 \\ 2 &\hfill 6 \\ 3 &\hfill 30 \\ 4 &\hfill 210 \\ 5 &\hfill 2310 \\ 6 &\hfill 30030 \\ 7 &\hfill 510510 \\ 8 &\hfill 9699690 \\ 9 &\hfill 223092870 \\ 10 &\hfill 6469693230 \\ 11 &\hfill 200560490130 \\ 12 &\hfill 7420738134810 \\ 13 &\hfill 304250263527210 \\ 14 &\hfill 13082761331670030 \\ 15 &\hfill 614889782588491410 \\ 16 &\hfill 32589158477190044730 \\ 17 &\hfill 1922760350154212639070 \\ }$$

Tenga en cuenta que faltan algunas de las propiedades de los factoriales, por ejemplo, los ceros finales, pero supongo que tiene separadores de registros establecidos en una parte anterior de la transmisión.

Una desventaja es que no hay ningún número individual obvio para elegir. Si es necesario usar una secuencia, esta podría ser una buena opción. Si los remitentes no confían en que los receptores cuenten con herramientas como google y OEIS, incluso podrían enviar una tabla como esta:

$$\matrix{ n & p_n & \sum p_n & p_n\# \\ 0 &\hfill &\hfill 0 &\hfill 1 \\ 1 &\hfill 2 &\hfill 2 &\hfill 2 \\ 2 &\hfill 3 &\hfill 5 &\hfill 6 \\ 3 &\hfill 5 &\hfill 10 &\hfill 30 \\ 4 &\hfill 7 &\hfill 17 &\hfill 210 \\ 5 &\hfill 11 &\hfill 28 &\hfill 2310 \\ }$$

Donde el$\sum p_n$los valores son las sumas de los primeros n números primos .

(Descubrí los primoriales porque son las longitudes de ciclo de los espacios entre números aproximados ).

Para demostrar que somos capaces de realizar operaciones matemáticas complejas , primero mostramos que somos capaces de crear un mensaje simple que se puede entender fácilmente.

El mensaje que utilicé en esta pregunta parece el candidato perfecto.

Básicamente, creamos una secuencia de símbolos a partir de la cual los extraterrestres pueden deducir una secuencia de números y símbolos utilizados para operaciones aritméticas con esos números.

Este mensaje no es solo una secuencia numérica, sino que muestra al extraterrestre

• Sabemos lo que significa "codificación"
• Sabemos cómo hacer que una codificación sea significativa (no tienen un diccionario para buscar cada símbolo, por lo que "los símbolos comienzan y terminan" debería ser obvio)
• Conocemos los números primos y el álgebra básica.

Después de eso, acordamos un alfabeto simple (o tal vez mostrar que no queremos estar atados a un alfabeto, podríamos cambiarlo cada vez, haciéndoles saber que sabemos que el alfabeto no es importante, siempre y cuando puedas deducir qué se usan los símbolos), podríamos usarlo para construir temas más complejos.

Si solo enviamos una secuencia numérica simple, solo estamos gritando:

"Hey radio amateur here! Testing, 1, 2, 3"

En cambio si aportamos algo sencillo pero que nos permita construir un lenguaje, estamos mostrando claramente la intención que queremos comunicar y enviar mensajes complejos.

Además, si el mensaje es lo suficientemente simple , cualquier persona lo suficientemente decidida podría descifrar su significado, ¡y aún mejor, podría aprender de él !

Supongamos que en realidad hay una terminal remota construida por una antigua raza alienígena, luego esos alienígenas mueren y hay una nueva raza que en realidad no tiene conocimientos tecnológicos/matemáticos.

Sin embargo, si ven en la terminal algo como (nuestra señal enviada desde muy, muy lejos):

O   1
OO  2
OOO 3
OOOO 4
O+O  1+1  2
OO+O 2+1  2

También podrían comenzar a aprender a hacer sumas y contar, y todo basado únicamente en la observación.

Lo interesante es que no podemos enviar imágenes, hablar de cómo está el clima o cómo te llamas, pero podemos codificar matemáticas. Axiomas, teoremas, demostraciones. No importa cuál sea su idioma, puede (con un mensaje muy bien pensado, comenzando de manera muy simple) codificar casi todas las matemáticas y enseñarlas.

Ahora que expliqué lo racional, aquí está la lección para los extraterrestres. Utilicé nuestros caracteres para mantenerlo comprensible para nosotros, pero en realidad cualquier símbolo podría ser reemplazado por otro sylmbe sin perder el significado de lo que escribo.

Así es como realmente codificamos el álgebra en símbolos arbitrarios:

  ____#__1_2_3_4_5_6_7_8_9__0___#_1___##_2___###_3___####_4___#####_5___######_6___#######_7___########_8___#########_9___##########_10___###########_11_##################_18____

El mensaje con "___" reemplazado por líneas nuevas

#__1_2_3_4_5_6_7_8_9__0
#_1
...
##########_10
##################_18

Esto básicamente enseña a contar. Hay suficiente para entender la notación posicional y para entender lo que significan "#" y "0".

Para la próxima lección podríamos empezar a hacer sumas

#__1_2_3_4_5_6_7_8_9__0__+__=

#+#=##
##+#=###
###+###=######
1+1=2
2+1=3
3+3=6
#####+######=###########
5+6=11
9+1=10
99+1=100
23+37=60
5+17=22

Sí, es muy conciso con pocos, pero suficientes ejemplos para aprender suma. También podríamos enviar una tabla de suma como " extra " por supuesto en nuestro mensaje.

Enseñar división/multiplicación es lo mismo, solo quiero saltarme esa parte aburrida y volverme funcional:

#__1_2_3_4_5_6_7_8_9__0__+__=__x__f__(_)_@

@f(x)=x+1
f(1)=2
f(2)=3
f(4)=5
@f(x)=x+4
f(0)=4
f(1)=5
f(7)=11

Ahora que tenemos funciones podríamos definir nuestros primeros axiomas

@0
@f(x)=x+1
@0_f(x)
@f(0)=1_1

Y después de tener nuestros Axiomas (casi todos los Axiomas de Peano, pero el principio de inducción), tenemos casi definidos nuestros números naturales . Bueno, en realidad está incompleto, primero necesitamos definir "Conjuntos". Pero sin demasiado esfuerzo en ser demasiado precisos, ya dimos muchos pasos hacia adelante.

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Suponiendo que los extraterrestres usen esa codificación para sus mensajes, entonces, para asegurarme de que alguien está leyendo el mensaje correctamente, no usaría un solo número sino una expresión para verificar la igualdad, algo como:

101*103=10403

Alternativamente, usaría el número de página

1 for page 1

O un número que representa alguna función como el número de cuadros en la página elevada a sí mismo, si hay 10 cuadros, entonces el número es10^10

10000000000

Personalmente, elegiría la última opción, porque no solo es un número significativo en el "contexto de la página", sino que también es útil como una simple "suma de verificación", una vez que alguien lee cuál es ese número.

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Como Cort Ammon, me gustaría sugerir OEIS como el catálogo de muchas secuencias enteras importantes que la humanidad ha encontrado hasta ahora.

Más específicamente, un buen punto de partida es la lista de secuencias principales . A partir de ahí, elegiría algunas secuencias que no se basan en números enteros arbitrarios (por ejemplo, la serie de potencias de x obviamente se basa en x). Mi lista sería algo como:

1. Números naturales o números primos. Sin embargo, especifica que desea que los números crezcan más rápido que eso, y tal vez una secuencia tan simple ya esté cubierta con la configuración anterior en el mensaje.

2. Factoriales o la secuencia de Fibonacci . Lo suficientemente básico como para darles sentido incluso para una persona que no tiene inclinación matemática.

3. Números catalanes . Aparecen de forma natural en un gran número de formas.

4. Algo más abstracto, como el número de ciertos grupos o gráficos , si quieres mostrar qué estructuras algebraicas son familiares para la humanidad.