¿Cuáles son las fuerzas en una órbita elíptica, divididas en factores x e y?

¿Cómo se verían los vectores de fuerza cuando se descomponen en vectores x e y, donde y es una línea que atraviesa el objeto y el planeta (es decir, siempre perpendicular), y x es consistentemente tangente al planeta?

Exactamente igual que en el caso circular. La fuerza en la dirección tangencial es cero y la fuerza en la dirección normal es$GMm\over r^2$dirigido hacia el centro del planeta.$M$es la masa del planeta,$m$es la masa del objeto, y$r$es la distancia entre el centro del objeto y el centro del planeta.

Lo que es diferente de una órbita circular es que$r$varía en el tiempo en la órbita elíptica.

La verdad es que solo hay 1 fuerza actuando sobre un satélite en cualquier momento, y esa es la fuerza gravitacional. La fuerza gravitacional tira del objeto directamente hacia el cuerpo alrededor del cual está orbitando.

Lo que termina sucediendo es que tienes un movimiento en una dirección y una velocidad en una dirección diferente. Para una órbita circular y ciertas partes de una órbita elíptica, el tirón es de 90 grados desde la dirección de la velocidad. En este caso, la dirección de la velocidad cambiará.

Sin embargo, en el caso de una órbita muy elíptica, a veces el vector de velocidad no será perpendicular al vector de gravedad. De hecho, para una órbita muy elíptica, ¡casi pueden estar en la misma dirección! Creo que ese es el error que estás cometiendo en tu análisis.

Hay una gran imagen encontrada en este sitio , que lamentablemente no puedo encontrar los derechos de autor para usar aquí. Muestra cómo estos vectores no están a 90 grados para una órbita elíptica.

¿Cómo se verían los vectores de fuerza cuando se descomponen en vectores x e y, donde y es una línea que atraviesa el objeto y el planeta (es decir, siempre perpendicular), y x es consistentemente tangente al planeta?

Un mejor nombre para esos vectores es$\boldsymbol e_r$y$\boldsymbol e_\theta$(o$\hat r$y$\hat \theta$) en lugar de su y y x (en ese orden; es estándar representar$r$primero y$\theta$segundo). Estos son los vectores unitarios para las coordenadas curvilíneas polares, que es lo que estás usando.

El vector de desplazamiento desde el centro del planeta hasta el objeto en órbita está dado por$\boldsymbol r = r \boldsymbol e_r$. Al diferenciar esto con respecto al tiempo desde la perspectiva de un marco centrado en un planeta que no gira, se obtiene el vector de velocidad,$\boldsymbol v = \dot r \boldsymbol e_r + r \dot {\boldsymbol e}_r = \dot r \boldsymbol e_r + r \dot \theta \boldsymbol e_\theta$. Tenga en cuenta que el vector de velocidad es ortogonal al vector de posición solo en el caso de movimiento circular.

¿Qué pasa con la aceleración? La gravitación es una fuerza central (nótese bien: no es una fuerza centrípeta). En las fuerzas centrales, las fuerzas se dirigen a lo largo o en contra de la línea que conecta los dos cuerpos que interactúan. El vector de aceleración gravitacional en el problema de masa puntual de dos cuerpos está dirigido contra el vector de desplazamiento:$\boldsymbol a = - \frac {GM}{r^2} \boldsymbol e_r$. Dado que el vector de velocidad en general no es ortogonal al vector de posición, en general tampoco es ortogonal al vector de aceleración.