No entiendo la estructura de bandas de los sólidos.

Ok, de ninguna manera soy un experto en estado sólido, pero podría ser un poco útil.

La estructura de bandas en los sólidos surge debido únicamente a la periodicidad de la red. Todo se reduce a esta periodicidad.

La periodicidad de la red hace que el potencial también sea periódico.

Esta periodicidad tiene muchas consecuencias (interesantes) (estados de Bloch y bla bla bla), pero la que te importa es que los estados propios de energía del hamiltoniano están especificados por$\vec{k}$, un vector del espacio recíproco, y otro índice que llamaré "n" (esta "n" etiquetará las bandas).

Ahora, el recíproco es periódico porque el cristal es periódico. Entonces

$\epsilon_n(\vec{k})=\epsilon_n(\vec{k}+period)$

Así que ve que este espectro de energía del electrón único en el potencial periódico del cristal tiene que estar acotado y todos los valores de energía para un dado$n$debe estar en una banda de valores posibles. ESTA es la estructura de la banda. Tienes una banda para cada "n".

Ahora, son todos$\epsilon_n(\vec{k})$¿permitido? No, (al menos no si trabajas bajo las condiciones de frontera de Born y Von Karman (que es lo que siempre he visto hacer)). Estas condiciones de contorno discretizan la posible$\vec{k}$vectores (y en realidad puedes limitarte a los$\vec{k}$de una celda primitiva del retículo recíproco por Born y Von Karman).

Como ves, los electrones en los cristales también están en un espectro discreto.

Esto está muy bien explicado en el libro de Ashcroft. La idea es que la periodicidad de la red te da una estructura de banda de los niveles de energía del electrón individual. Luego, las condiciones de contorno de Born y Von Karman discretizan el espectro.

Al resolver el espectro, asumes que el sólido tiene una extensión infinita, por lo que el electrón no está realmente ligado. Por lo tanto, puede obtener un continuo de impulso.

Considere, por ejemplo, el caso trivial en el que no hay átomos y solo tiene un electrón libre en el espacio. Entonces, la energía es proporcional al impulso al cuadrado, y el impulso puede ser arbitrariamente grande, por lo que solo obtienes una gran banda.

Las bandas provienen de la interacción del electrón con la red. Supongamos que podemos agregar una red de átomos con los que interactúa el electrón. ¿Cómo cambia esto y hace que tengamos varias bandas distintas? Observe que el potencial de los átomos rompe la invariancia traslacional continua (y, por lo tanto, la conservación del momento). Sin embargo, dado que los átomos todavía se encuentran en una red, tenemos invariancia bajo traslaciones por vectores de red, por lo que tenemos una forma más débil de conservación del momento, que dice que el número de onda se conserva solo hasta un vector de onda de la red recíproca a la red en la que están nuestros átomos.

Pero nuestro espectro de energía todavía parece conectado, ¿cómo obtenemos bandas prohibidas por la no conservación del impulso? Ahora considere un vector de onda de celosía recíproca$\vec{K}$y número de onda de electrones$\vec{k}$cerca$\vec{K}/2$. Entonces las leyes de simetría no prohíben una transición del vector de onda$\vec{k}$y vector de onda$\vec{K}-\vec{k} = \vec{K}/2 + (\vec{K}/2 - \vec{k}) \approx \vec{K}/2\approx \vec{k}$desde$\vec{k} \approx \vec{K}/2$. ahora desde$\vec{K}-\vec{k} \approx \vec{k}$, los estados correspondientes a estos dos números de onda tienen similar$k^2$, es decir, energía imperturbable similar. Pero ahora, con la red en su lugar, genéricamente habrá algún elemento de matriz que permita las transiciones entre estos estados y, por lo tanto, estos niveles de energía se dividirán aunque originalmente estaban cerca. Energías cercanas$\dfrac{(\vec{K}/2)^2}{2m}$por lo tanto, no se obtienen debido a esta división y, por lo tanto, hay una brecha en el espectro. Esta es la brecha de la banda.

Podrías pensar en hacer un sólido acercando lentamente todos los átomos. A medida que se acercan, las órbitas discretas de los electrones comienzan a chocar entre sí. Pero los electrones no pueden estar en el mismo estado, y empiezas a tener nuevos estados que son una combinación de los estados discretos... Y estos forman bandas. (Sí, eso último es un poco complicado, mira un estado sólido texto.) Nota: tiene bandas en aisladores donde los electrones no están libres.

Extraño, lo que estoy bastante seguro es que la respuesta correcta se vota al final. Si edito esto, ¿volverá a subir al frente de la fila? Entonces, poner átomos en una matriz periódica no garantiza que se formen bandas. Cuando los átomos se acercan entre sí, los electrones se ven obligados a formar bandas porque son fermiones y no pueden estar en el mismo estado.

Porque en los estados sólidos, los electrones no están ligados.

Se puede hacer una derivación simple de las bandas continuas si observa la partícula en una caja ( Wikipedia ).

Si nos acercamos al número de una caja infinita con infinitas partículas (y densidad constante), hay infinitos estados, y los estados se acercan, a medida que la brecha de energía va como$L^{-2}$.

Por lo tanto surge una banda continua.

La derivación de los intervalos de banda es un poco más complicada. En el caso unidimensional simple, esto está relacionado con la periodicidad de los átomos. Mirando la longitud de onda, que es la misma que la periodicidad del cristal, hay básicamente dos opciones: aquella en la que los electrones tienen una probabilidad de alta densidad en los átomos, por lo tanto tienen una energía más baja, ya que se atraen. La otra posibilidad es que tengan una mayor probabilidad entre los átomos. Esto no es energéticamente tan bueno para ellos. Entonces vemos que tenemos 2 estados con el mismo$k$-vector, pero con diferentes energías. Esta es la razón de la brecha de banda.