¿No debería ser conmutativa la suma del momento angular?

tengo momentos angulares$S=\frac{1}{2}$para girar, y$I=\frac{1}{2}$para el momento angular nuclear, que quiero agregar usando la base de Clebsch-Gordan , por lo que la conversión se ve así:

$$\begin{align} \lvert 1,1\rangle &= \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle,\tag{4.21a} \\ \lvert 1,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle + \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle\biggr),\tag{4.21b} \\ \lvert 1,-1\rangle &= \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle,\tag{4.21c} \\ \lvert 0,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle - \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle\biggr),\tag{4.21d} \end{align}$$

dónde$F=I+S$, así que esta es la base$\lvert F m_F \rangle = \sum_m \lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$.

Ahora, dado que sumar momentos angulares es conmutativo, el intercambio entre$I$y$S$no debería introducir matemáticamente ningún tipo de diferencia.

En otras palabras, en la base descrita en esas ecuaciones, no debería importar si lo escribo como$\lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$o$\lvert\bigl(S I\bigr),m_S m_I\rangle$, ¿bien?

Ahora el problema es el siguiente: he creado la matriz hamiltoniana$H=-\vec{\mu}\cdot \vec{B} = -2 \mu B_z S_z/\hbar$en el$\lvert F m_F \rangle$representación, y en realidad el resultado depende de cómo llame a esos momentos angulares, por lo que el resultado podría ser

$$H = \begin{pmatrix} \mu_B B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \mu_B B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\mu_B B \\ 0 & 0 & \mu_B B & 0 \end{pmatrix}$$

O podría ser

$$H = \begin{pmatrix} \mu_B B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \mu_B B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-\mu_B B \\ 0 & 0 & -\mu_B B & 0 \end{pmatrix}$$

Dependiendo de cómo los "etiquetes",$I$o$S$... que es muy confuso!

Esto sucede porque los términos fuera de la diagonal

$$\left\langle 1 0 \right| S_z \left| 0 0 \right\rangle = \frac{1}{2} \left( \left\langle (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right| + \left\langle (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \right| \right) S_z \left( \left| (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right\rangle - \left| (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \right\rangle \right)$$

será cualquiera$\hbar/2$o$-\hbar/2$dependiendo de su convención, ya sea$\lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$o$\lvert\bigl(S I\bigr),m_S m_I\rangle$.

¿Cómo puedo entender esto física y matemáticamente? ¿No debería la suma ser conmutativa y el proceso no reconocer qué etiquetas uso?