Coeficientes de Clebsch Gordan "invertidos"

Si entiendo bien, los coeficientes$B$son solo CG de hecho: para ser explícitos

$$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle = \sum_{J(M)} C^{j_1j_2J}_{m_1m_2M} \vert JM\rangle$$ Tenga en cuenta la suma de $M$no es realmente una suma como $M$debe satisfacer $M=m_1+m_2$.

La mejor manera de ver esto es empezar con$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle$y simplemente inserte la unidad$I=\sum_{JM}\vert JM\rangle\langle JM\vert$. Uno entonces tiene

$$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle=\sum_{JM}\vert JM\rangle\langle JM\vert j_1m_1;j_2m_2\rangle$$ con $$\langle JM\vert j_1m_1;j_2m_2\rangle = \langle j_1m_1;j_2m_2\vert JM\rangle = C^{j_1j_2J}_{m_1m_2M}$$ ya que los CG son reales.

La forma en que haces la pregunta ahora, no se puede hacer del todo. Eso es porque si me dices$J$y$M$, hay muchas maneras de$j_1$y$j_2$para llegar a eso. Si el momento angular total es$0$, por ejemplo, entonces hay un número infinito de posibilidades para$j_1$y$j_2$para llevarme a$0$. Ambos podrían ser giro 1/2, o ambos podrían ser giro 1. O ambos podrían ser giro 42.

Sin embargo, si especifica qué$j_1$y$j_2$son, entonces es fácil invertir los coeficientes de Clebsch-Gordan a través de la idea de que forman una relación ortogonal .

Básicamente:

$$|j_1, m_1, j_2, m_2\rangle = \sum_{J,M'} |J,M\rangle \langle J,M | j_1, m_1, j_2, m_2\rangle$$

donde los estados$|J, M\rangle$están restringidas a aquellas que realmente puedes formar a partir de$j_1$y$j_2$.

Y, bueno, ese paréntesis es solo el coeficiente de Clebsch-Gordan.$C_{m_1, m_2, M}^{j_1, j_2, J}$. Bueno, técnicamente es su complejo conjugado, pero dado que los coeficientes tienen valores reales en la convención de fase típica, esa distinción no importa.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan contienen suficiente información para calcular la inversa, ya que

$$\langle j_1 j_2 m_1 m_2 | jm \rangle = C^{j_1, j_2, j}_{m_1, m_2, m}.$$ Conjugando, los elementos de la matriz que estás buscando son $$\langle jm | j_1 j_2 m_1 m_2 \rangle = (C^{j_1, j_2, j}_{m_1, m_2, m})^*.$$