Naturaleza local de una densidad de carga superficial

Suponga lo contrario, suponga que existe un punto tal que la densidad de carga local es positiva, digamos el punto A.

Ahora, según la ley de Gauss, la carga total en la superficie interna es negativa. Por lo tanto, debe existir un punto B en el que la densidad de carga local sea negativa (de lo contrario, la carga neta será positiva).

Ahora considere la línea de campo desde el punto A. Se originará en el conductor y puede tener dos posibilidades:

1) Cumple con la carga dada: no es posible ya que la carga dada es positiva.

2) Se encuentra en algún punto del conductor.

Dado que el primer caso es imposible, tenemos que aceptar el segundo. La curva azul es la línea de campo.

Ahora considere$\oint \vec E \cdot \vec dx$sobre el bucle de color (azul y naranja) como se muestra en la figura. Podemos dividir esta integral en dos partes:

1) A a B dentro del conductor (curva azul): dado que se trata de una línea de campo (según la segunda posibilidad), la integral es un número real distinto de cero .

2) B a A dentro del conductor (curva naranja): como el campo es cero, la integral es cero.

Así que finalmente, tenemos

$\oint \vec E \cdot \vec dx=$número real distinto de cero

lo cual, a primera vista, contradice el hecho de que el campo E es conservativo. Contradicción. ¡Hecho!