Momento angular y segunda ley de Kepler

Permítanme comenzar diciendo que entiendo la esencia de la conservación del momento angular, al menos cualitativamente. Para ilustrar mejor mi pregunta, consideraré el caso de un planeta que orbita alrededor de una estrella.

Si asumimos que la ecuación del momento angular es la siguiente:

L = metro ∗ r ∗ v

Dónde:

metro = es la masa combinada del sistema estrella-planeta

r = la distancia orbital (semi-eje mayor) del planeta

v = la velocidad orbital del planeta

Ahora, dado que la masa es más o menos constante, lo ignoraremos. Además, según la segunda ley de Kepler, el planeta debe orbitar más rápido cuanto más cerca esté de su estrella anfitriona y viceversa. Esto es lo que no entiendo:

si disminuimos r en cierta cantidad, ¿no significa esto que v también debe aumentar en la misma cantidad para que se conserve el momento angular total? Si esto es cierto, ¿por qué no parece ser así en la práctica? Es decir, es bastante obvio para mí que la velocidad orbital de un planeta no aumenta en la misma cantidad en la que ha disminuido su distancia orbital.

Espero que esto sea claro. Estoy tratando de entender la relación entre ry ven términos de cómo se compensan entre sí para conservar L. Intuitivamente, uno debe aumentar en la misma cantidad que el otro disminuyó, pero de alguna manera esto no me parece un escenario realista. ¿Qué estoy malinterpretando?

EDITAR: Gracias al comentario de Bill N a continuación, creo que mi malentendido se debe al hecho de que asumí que los aumentos y las disminuciones son aditivos, cuando en realidad son multiplicativos. Siéntase libre de agregar comentarios más relevantes; de lo contrario, considere esta pregunta respondida.

Usted hace una declaración: "Es decir, es bastante obvio para mí que la velocidad orbital de un planeta no aumenta en la misma cantidad en que ha disminuido su distancia orbital". Pero no das pruebas. La evidencia experimental de cada satélite y cada planeta y cada cometa que hemos medido alguna vez de que lo que es obvio para ti es falso. Y recuerda, que los aumentos y disminuciones no son aditivos, son razones multiplicativas. Si quieres citar alguna evidencia, hazlo. No ha declarado ningún "malentendido" realista. Sólo has manifestado una incredulidad.
También hay un factor de pecado ⁡ θ que queda fuera de su fórmula para L . θ es el ángulo entre el vector radial y el vector velocidad. L = metro v r pecado ⁡ θ .
¿Puedes aclarar qué quieres decir con 'razones multiplicativas'? Creo que esto es en lo que me equivoqué. Además, en realidad no estaba haciendo un reclamo. Disculpas si sonó así. Realmente no entiendo la situación.
No importa. Entiendo ahora. ¡Muchas gracias!

Respuestas (1)

El momento angular del movimiento orbital planetario y satelital permanece constante de primer orden porque la fuerza gravitacional no ejerce un par sobre el sistema. Eso significa que en cada punto de la órbita del satélite, medido en relación con el centro de fuerza (la estrella, o posiblemente un planeta en el caso de una luna o un satélite hecho por el hombre) es L = m v r pecado ⁡ θ , dónde m es la masa reducida del sistema. Como el par es cero y m es constante, v r pecado ⁡ θ debe ser constante. El ángulo θ es el ángulo entre el vector de posición, r → desde el centro de fuerza hasta el satélite y el vector velocidad, v → .

Comparemos dos puntos orbitales, el periapsis (aproximación más cercana, r → pag ) y apapsis (punto más distante, r → a ), de la órbita elíptica. El centro de fuerza estará en un foco de la elipse. En estos dos puntos, θ = 90 o , entonces

v pag r pag = v a r a .
Porque r a > r pag rápidamente vemos que
v pag = v a r a r pag > v a
o, en palabras, la velocidad en el periapsis es más rápida que la velocidad en el apapsis en una proporción de r a r pag . En los puntos intermedios, pecado ⁡ θ es menor que 1, pero nunca llega a cero. La velocidad más lenta se encuentra en el apapsis, y la velocidad aumenta de forma continua y predecible, pero no lineal, hasta el periapsis. La magnitud real de la aceleración depende de la excentricidad de la elipse y del semieje mayor. Se pueden encontrar más detalles en cualquier libro universitario de mecánica intermedia.

No hay suficientes puntos en Physics SE para votar, ¡pero gracias de nuevo por los detalles! Ahí fue donde inicialmente me equivoqué. Había asumido que los aumentos/disminuciones eran aditivos (que es más o menos lo que parece cuando se describe cualitativamente).
@BillN Hola, Bill. ¿Podría aclarar por qué el momento angular permanece constante de primer orden ? Suponiendo que los planetas tienen una forma ideal, ¿no es exacta la constancia del momento angular?
Hay otros planetas que ejercen pares entre sí. Los efectos de torque son muy pequeños en un planeta (gran masa), pero los usamos para impulsar satélites de pequeña masa a diferentes órbitas. Así es como llevamos a las Voyagers y New Horizons a Plutón y más allá.
Momento angular y segunda ley de Kepler
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v