Modos de cavidad EmDrive

Así que no hay una manera fácil: tuve que trabajar todo el álgebra. Empezando con

$$\nabla^2 E +k^2E = 0$$ Las formas del campo eléctrico son $$E_r = P_n^0(cos\theta)[\frac{A_n j_n(k r)}{k r} + \frac {B_n y_n(k r)}{k r}]$$ $$E_\phi = P_n^1(cos\theta)[C_n j_n(k r) + D_n y_n(k r)]$$ Usando $\nabla \cdot E = 0$y la simetría terminada $\phi$Encuentro $$E_\theta = -\frac {P_n^1(cos\theta)} {n(n+1)} \{ A_n [\frac {j_n(k r)}{k r} + j'_n(k r)] + B_n[ \frac {y_n(k r)}{k r} + y'_n(k r)]\}$$ Claramente $n = 0$No se permite.
Usando $\nabla \times E = i \omega B$Encuentro lo siguiente para el $B$campo $$B_r = \frac {-i} \omega k \frac {P_n^0(\cos\theta)} {n(n+1)}[C_n \frac {j_n(k r)} {k r} + D_n \frac {y_n(k r)} {k r}]$$ $$B_\theta = i \frac k \omega P_n^1(cos\theta) \{C_n [\frac {j_n(k r)}{k r} + j'_n(k r)] + D_n [\frac {y_n(k r)}{k r} + y'_n(k r)] \}$$ $$B_\phi = \frac {-i} \omega k \frac {P_n^1(cos\theta)} {n(n+1)}[A_n j_n(k r) + B_n y_n(k r)]$$ Tenga en cuenta que el factor imaginario simplemente significa que el campo B está desfasado 90 grados con el campo E en el tiempo.

Ahora veamos las condiciones de contorno. Ambos$E_\phi$y$E_\theta$son cero en$r_1$y$r_2$. También tenemos$E_\phi$y$E_r$son cero en$\theta_w$. El campo real es la suma de todos$n$pero cada modo es ortogonal a todos los demás modos, por lo que cada modo debe coincidir con las condiciones de contorno de forma independiente. Para$E_\phi$, dado arbitrariamente$\theta_w$,$P_n^1(cos \theta_w) \neq 0$entonces todos los coeficientes$C_n$y$D_n$debe ser$0$. eso noquea$E_\phi$,$B_r$y$B_\theta$. Lo mismo es cierto para$E_r$- que dice que a menos que las paredes estén en un ángulo específico que es un cero para$P_n^0$o$P_n^1$, ningún campo resonará.

En otras palabras, si los muchachos de EmDrive no construyen la cavidad en ángulos específicos, ¡simplemente reflejará toda la potencia y no tendrá RF en absoluto! Entonces, supongamos que SÍ lo construyen en un ángulo específico para que resuene, entonces el vector de Poynting es$S = E \times B$. Solo$E_\theta B_\phi$está en el$\hat r$dirección, pero esto es$0$en el$r_1$y$r_2$paredes Entonces, incluso si resuena, no empujará. QED.

La vida se vuelve mucho más interesante si hay un conducto central, por lo que tenemos$\theta_1$y$\theta_2$. entonces tenemos los dos$P_n^m$y$Q_n^m$como soluciones angulares. Será posible encontrar un conjunto de coeficientes que coincidan con todas las condiciones de contorno y el sistema resonará. (Reemplaza todo$P_n^m$arriba con ($P_n^m(cos \theta) + K_n Q_n^m(cos \theta))$

Esa es una respuesta bastante concisa que cubre más de 20 páginas de álgebra (y cálculo, supongo). Es obvio a primera vista que EmDrive no puede funcionar, pero no puede funcionar de tantas maneras que es ridículo. La resonancia de un cono esférico sigue siendo un problema interesante y espero que alguien lo encuentre útil.