Impedancias de entrada de las secciones terminadas de la línea de transmisión

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Impedancias de entrada de las secciones terminadas de la línea de transmisión

arcoparque

Cuando se trata de guías de ondas ópticas y dieléctricas, una forma de obtener los modos guiados es imponer la "condición de resonancia transversal".

Sea la siguiente una línea de transmisión con impedancia característica $Z_0$ que está terminado en sus dos extremos con cargas $Z_1$ y $Z_2$ . Su longitud total es $l$ .

Ahora dividamos la línea en una posición arbitraria $x$ (por supuesto, $0 \leq x \leq l$ ) y calculemos las impedancias de entrada $Z_{in1}$ y $Z_{in2}$ en ambas direcciones:

Z_{i norte 1} = Z_{0} \frac{Z_{1} + j Z_{0} broncearse (β X)}{Z_{0} + j Z_{1} broncearse (β X)}

$Z_{in1} = Z_0 \frac{Z_1 + j Z_0 \tan (\beta x)}{Z_0 + j Z_1 \tan (\beta x)}$

Z_{i norte 2} = Z_{0} \frac{Z_{2} + j Z_{0} broncearse [β (yo - X)]}{Z_{0} + j Z_{2} broncearse [β (yo - X)]}

$Z_{in2} = Z_0 \frac{Z_2 + j Z_0 \tan [ \beta (l - x) ]}{Z_0 + j Z_2 \tan [ \beta (l - x) ]}$

La condición de resonancia transversal antes mencionada impone que $Z_{in1} + Z_{in2} = 0$ independientemente de la posición elegida $x$ . Pero:

hace la suma $Z_{in1} + Z_{in2}$ depender de $x$ ?
Y si no, ¿por qué?

Mi intento: la única relación útil que encontré es

broncearse [β (yo - X)] = \frac{broncearse (β yo) - broncearse (β X)}{1 + broncearse (β yo) broncearse (β X)}

$\tan [ \beta (l - x) ] = \frac{\tan(\beta l) - \tan (\beta x)}{1 + \tan(\beta l) \tan (\beta x)}$

Esto lleva a

Z_{i norte 1} + Z_{i norte 2} = Z_{0} \frac{Z_{1} + j Z_{0} broncearse (β X)}{Z_{0} + j Z_{1} broncearse (β X)} + Z_{0} \frac{Z_{2} + j Z_{0} \frac{broncearse (β yo) - broncearse (β X)}{1 + broncearse (β yo) broncearse (β X)}}{Z_{0} + j Z_{2} \frac{broncearse (β yo) - broncearse (β X)}{1 + broncearse (β yo) broncearse (β X)}}

$Z_{in1} + Z_{in2} = Z_0 \frac{Z_1 + j Z_0 \tan (\beta x)}{Z_0 + j Z_1 \tan (\beta x)} + Z_0 \frac{Z_2 + j Z_0 \displaystyle \frac{\tan(\beta l) - \tan (\beta x)}{1 + \tan(\beta l) \tan (\beta x)}}{Z_0 + j Z_2 \displaystyle \frac{\tan(\beta l) - \tan (\beta x)}{1 + \tan(\beta l) \tan (\beta x)}}$

Incluso tratando de simplificar el $1 + \tan(\beta l) \tan (\beta x)$ denominador en el segundo sumando, la suma $Z_{in1} + Z_{in2}$ todavía no tiene un denominador común y muchos términos dependiendo de $x$ . ¿Hay otra forma de proceder? La única hipótesis razonable que se puede hacer es que las dos cargas $Z_1$ y $Z_2$ son puramente reactivos, es decir: son de la forma $Z_1 = jX_1$ y $Z_2 = jX_2$ , con $X_1, X_2 \in \mathbb{R}$ . Esto, de todos modos, no parece simplificar la expresión anterior.

Respuestas (1)

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Selene Routley · Answer 1

Piense desde los primeros principios en términos de las ondas que viajan en ambas direcciones. En cualquier punto $x$ , mirando hacia la derecha hacia la impedancia $Z_2$ , la relación entre correr hacia la izquierda $E^-$ y corriendo hacia la derecha $E^+$ campos eléctricos es:

\begin{matrix} (1) & {mi}^{-} = {mi}^{+} Γ_{2} Exp (- 2 i β (ℓ - X)) \end{matrix}

$E^- = E^+ \,\Gamma_2\,\exp(-2\,i\,\beta\,(\ell-x))\tag{1}$

donde el coeficiente de reflexión en la terminación es $\Gamma_2 = (Z_2-Z_0)/(Z_1-Z_0)$ . Haz lo mismo mirando hacia la izquierda la relación entre las dos ondas establecida por la impedancia. $Z_1$ :

\begin{matrix} (2) & {mi}^{+} = {mi}^{-} Γ_{1} Exp (- 2 i β X) \end{matrix}

$E^+ = E^- \,\Gamma_1\,\exp(-2\,i\,\beta\,x)\tag{2}$

Dividir (2) entre (1) eliminará ambos campos eléctricos. También eliminará $x$ , dejándote con la condición de resonancia en la constante de propagación $\beta$ . Dicho sistema solo admitirá un conjunto discreto de frecuencias.

Es muy similar a un instrumento musical de viento de tubo afinado como una flauta.

Ahora, en cuanto a la independencia de la ecuación de resonancia de impedancia de $x$ , esto simplemente se sigue de la condición de resonancia de (1) y (2), que es:

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{Γ_{1}} = Γ_{2} Exp (2 i β ℓ) \Leftrightarrow {\tilde{Γ}}_{1} (X) = {\tilde{Γ}}_{2} (X)^{- 1} \end{matrix}

$\frac{1}{\Gamma_1}=\Gamma_2\,\exp(2\,i\,\beta\,\ell)\;\Leftrightarrow\;\tilde{\Gamma}_1(x)=\tilde{\Gamma}_2(x)^{-1}\tag{3}$

dónde $\tilde{\Gamma}_j(x)$ tienen sus significados obvios como los coeficientes de reflexión en el punto $x$ . La ecuación de impedancia está implícita e implica una condición de la forma $f\left(\tilde{\Gamma_1}\right) = f\left(\tilde{\Gamma}_2^{-1}\right)$ , dónde $f$ es cualquier función biyectiva entre el conjunto de números complejos extendidos (la esfera de Riemann) y ella misma. En este caso, $f$ es la transformación de Möbius dada por $f^{-1}(z) = \frac{z-Z_0}{z+Z_0}$ (de hecho, cualquier biyección holomorfa entre la esfera de Riemann y ella misma tiene que ser alguna transformación de Möbius, pero eso es un aparte). Puedes verificar fácilmente que $f\left(\frac{1}{z}\right) = -f(z)$ , que te da la condición que buscas, para todos $x$ . El hecho de que todas estas condiciones puedan volver a (3) muestra que la resonancia es independiente de $x$ .

La transformación de Möbius $f$ es, por supuesto, la base de la carta de Smith. Cambiando $x$ simplemente gira su carta de Smith sobre su origen.

Primero que nada, gracias. Un par de observaciones: $E^-$ , $E^+$ y el $x$ la dependencia se puede eliminar multiplicando, no dividiendo, (1) y (2). El resultado es $\Gamma_1 \Gamma_2 e^{-2 i \beta \ell} = 1$ (3). Además: ¿estás seguro de que la suma $Z_{in1} + Z_{in2}$ no es relevante aquí? Encontré la "condición de resonancia transversal" en la forma (3) tantas veces como en la forma $Z_{in1} + Z_{in2} = 0$ .
@BowPark Sí, tienes toda la razón. No estoy acostumbrado a pensar en las resonancias en estos términos: siempre me resulta más fácil pensar en los componentes de las ondas que en las corrientes y los voltajes. Pero tu condición $Z_1+Z_2=0$ por supuesto, corresponde a la condición de oscilaciones libres en la corriente alrededor del bucle en serie de $Z_1$ y $Z_2$ dado que el voltaje alrededor del bucle debe ser cero. Vea mis actualizaciones, que responden a su pregunta sobre la independencia de $x$ .

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