¿El potencial V(φ)V(φ)V(φ) de un campo escalar disminuye con la expansión del espacio?

Probablemente esté acostumbrado a una densidad lagrangiana en el espacio de Minkowski como$\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi -V(\phi)$. En el espacio-tiempo curvo, esto se generaliza a$\sqrt{|g|}(\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi -V(\phi))$con$g:=\det g_{\mu\nu}$.

Modelamos la expansión del espacio tridimensional con$ds^2=g_{\mu\nu}d^\mu dx^\nu=dt^2-a^2(t)d\mathbf{x}^2$(No voy a entrar en forma de$d\mathbf{x}$por ahora), entonces$\sqrt{|g|}\propto a^3$.