Métodos de transformación z: definición frente a regla rectangular o regla de Tustin

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Métodos de transformación z: definición frente a regla rectangular o regla de Tustin

tiempo
sistema
Física
transformada z

Ayuda apreciada

La definición de la transformada z se define como $z = e^{sT}$ donde "s" es la frecuencia compleja para sistemas de tiempo continuo y "T" es el período de muestra. ¿Por qué se usan reglas como la regla rectangular directa o el método de Tustin en lugar de la definición?

Regla rectangular hacia adelante: $s \leftarrow \frac{z-1}{T}$ Regla de Tustin: $s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}$

Edite para aclarar mi pregunta: estoy preguntando sobre las características de los métodos de transformación. Si transformo G(s) en G(z), entonces ¿por qué usar la regla de Tustin o la regla rectangular directa en lugar de la definición? Creo que las reglas de integración son solo una aproximación a la definición.

Edición n.º 2:
¿Qué hace que un mapa "de la s a la z" sea mejor o peor que cualquier otro? ¿Cuáles son las características de estos mapas y cómo se comparan entre sí? En otras palabras, si mapeo G(s) a G(z) usando el método de Tustin, ¿cómo/por qué se compara esto con el mapeo con la definición $z = e^{sT}$ ? La misma pregunta se aplica a otros mapas (rectangular hacia adelante, rectangular hacia atrás, etc.). Si obtengo diferentes ubicaciones de polos/ceros usando diferentes mapas, entonces, ¿cómo/por qué seleccionaría un resultado dado (G(z))? Para reiterar mi pregunta anterior, ¿ por qué usar una aproximación (método de Tustin, etc.) cuando se puede usar la definición ?

broma

No para el autor, sino para los lectores interesados: busque Lagrange-Boole y el operador de cambio y quizás el cálculo del operador, para comenzar. El retroceso de Euler (descrito por el OP como rectangular hacia adelante) y el de Tustin simplemente se caen con facilidad.

Respuestas (3)

Métodos de transformación z: definición frente a regla rectangular o regla de Tustin

No para el autor, sino para los lectores interesados: busque Lagrange-Boole y el operador de cambio y quizás el cálculo del operador, para comenzar. El retroceso de Euler (descrito por el OP como rectangular hacia adelante) y el de Tustin simplemente se caen con facilidad.

Chu · Answer 1

$\small z^{-1}$ es el operador de retardo en el dominio z, es decir, multiplicar la transformada z de una señal por $\small z^{-1}$ retrasa la señal en un incremento de tiempo. Por ejemplo, si $\small X(z)$ es la transformada z de la secuencia de pasos unitario:

X (z) = z^{0} + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} . . .

$\small X(z)= z^{0}+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3} ...$

entonces

z^{- 1} X (z) = z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} . . .

$\small z^{-1}X(z)= \:z^{-1}+z^{-2}+z^{-3} ...$ que es claramente el escalón unitario retrasado (ya que

z^{0} = 1

$\small z^0=1$ )

De manera similar, multiplicando la transformada de Laplace del paso unitario por $\small e^{-sT}$ retrasa el paso $\small T\: sec$ en el dominio del tiempo. De ahí la relación:

z^{- 1} \leftrightarrow {mi}^{- s T} o r z \leftrightarrow {mi}^{s T}

$\small z^{-1} \leftrightarrow e^{-sT}\:\: or\:\:z\leftrightarrow e^{sT}$

Esta relación es útil para el mapeo de polos y ceros entre los dominios s y z, por lo que se puede usar para obtener un controlador digital a partir de un prototipo continuo de Laplace.

La transformada bilineal ('Tustin' o muchos otros nombres) es un método algebraico para hacer, esencialmente, lo mismo, pero con un rendimiento generalmente mejor en comparación con el mapeo de polo-cero, invariante de impulso, invariante de paso, etc.

Se puede demostrar de manera bastante simple que la función de integración de transferencia z de primer orden (es decir, integración trapezoidal ) es

\frac{T}{2} \frac{(z + 1)}{(z - 1)}

$\small \frac{T}{2}\frac{(z+1)}{(z-1)}$ y esto corresponde al operador de integración de Laplace:

\frac{1}{s}

$\large \frac{1}{s}$

Esto conduce a la muy conveniente sustitución algebraica (es decir, la transformada bilineal ):

s \leftrightarrow \frac{2}{T} \frac{(z - 1)}{(z + 1)}

$\small s\leftrightarrow \frac{2}{T}\frac{(z-1)}{(z+1)}$

Tenga en cuenta que esta transformación conserva la ganancia de CC.

Por ejemplo, supongamos que requerimos el equivalente digital del filtro de paso bajo:

GRAMO (s) = \frac{1}{3 + s}

$\small G(s)= \frac{1}{3+s}$

dado un incremento de muestreo, $\small T=0.1\:sec$

GRAMO (s) = \frac{Y (s)}{X (s)} = \frac{1}{3 + s} \to {GRAMO}^{*} (z) = \frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{1}{3 + \frac{20 (z - 1)}{(z + 1)}} = \frac{z + 1}{23 z - 17} = \frac{0.043 + 0.043 z^{- 1}}{1 - 0.739 z^{- 1}}

$\small G(s)= \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{3+s}\rightarrow G^*(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}= \frac{1}{3+\frac{20(z-1)}{(z+1)}}=\frac{z+1}{23z-17} =\frac{0.043+0.043z^{-1}}{1-0.739z^{-1}}$

El filtro digital se implementa así mediante la ecuación en diferencias:

y (k) = 0.043 (X (k) + X (k - 1)) + 0.739 y (k - 1)

$\small y(k)=0.043\left(x(k)+x(k-1)\right)+0.739y(k-1)$

Creo que Tustin todavía necesita intervalos de muestreo lo suficientemente pequeños, $T$ . Es más probable que el rendimiento del sistema de circuito cerrado de tiempo discreto siga el enfoque de tiempo continuo cuando $T\lt\frac{\pi}{5\,\omega_c}$ , con $\omega_c$ la frecuencia de cruce, servicio de memoria.
@jonk Por supuesto, el incremento de tiempo es importante; el ejemplo solo pretendía mostrar el procedimiento. He cambiado T a 0,1 segundos, que es un poco más realista.
@Chu Gracias por su respuesta reflexiva y detallada. Haces un comentario que es lo que realmente me interesa: "La transformación bilineal ('Tustin' o muchos otros nombres) es un método algebraico para hacer, esencialmente, lo mismo, pero con un rendimiento generalmente mejor en comparación con el mapeo de polo-cero, invariante de impulso, invariante de paso, etc.
¿Por qué la transformada bilineal funciona mejor que otros métodos?

Tim Wescott · Answer 2

Porque si usas una de esas reglas, entonces puedes pasar de una razón racional de polinomios en $s$ a una razón racional de polinomios en $z$ . Esto le deja con un modelo de sistema en el que puede utilizar todos los métodos de análisis existentes que funcionan con proporciones de polinomios, y lo lleva a diseños de filtros que se pueden realizar con ecuaciones en diferencias.

Martín Rosenau · Answer 3

¿Por qué se usan reglas como la regla rectangular directa o el método de Tustin en lugar de la definición?

Tales reglas se utilizan para diseñar un circuito digital (mejor: discreto en el tiempo) que se comporta casi como un circuito analógico ya conocido (mejor: continuo en el tiempo).

Ejemplo:

Tiene un circuito existente ("circuito antiguo") donde se realiza un procesamiento de señal analógica utilizando algún filtro $G_1(s)$ . Luego, esta señal se convierte en una señal digital mediante un convertidor de analógico a digital (ADC).

Desea diseñar un nuevo circuito donde el procesamiento se realiza utilizando un filtro digital ( $G_2(z)$ ) en lugar de uno analógico:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Por supuesto, las salidas del "circuito antiguo" y el "nuevo" deben ser idénticas (o al menos tan similares como sea posible).

El método de Tustin (y similares) no se utilizan para calcular $G_2(z)$ de $G_\color{red}{2}(s)$ !

Estos métodos se utilizan para calcular algunos $G_2(z)$ de $G_\color{red}{1}(s)$ de manera que tanto el "nuevo circuito" como el "viejo circuito" tengan la misma salida.

Y simplemente usando $G_2(s)=G_1(s)$ no conducirá al resultado correcto!

Pensar en $G_1(s)=s$ :

Las entradas de los ADC serán señales analógicas y las salidas de los ADC serán funciones de paso (*).

Si pasa una función de paso a un filtro $G(s)=s$ (un diferenciador), obtendrá una serie de pulsos de Dirac como salida del "nuevo circuito". Sin embargo, desea tener la misma salida que en el "circuito antiguo", que es una función de paso.

Por lo tanto usando $G_1(s)=G_2(s)$ no conducirá al resultado correcto.

Usando el método de Tustin para calcular $G_2(z)$ de $G_\color{red}{1}(s)$ sin embargo, dará como resultado una salida del "nuevo circuito" que está cerca de la salida del "viejo circuito".

(*) Algunas personas definen la salida de un ADC como una serie de pulsos de Dirac en lugar de una función de paso. En este caso, podría discutir con un integrador en lugar de un diferenciador...

Sí, pero estoy preguntando sobre las características de los métodos de transformación. Si transformo G(s) en G(z), entonces ¿por qué usar la regla de Tustin o la regla rectangular directa en lugar de la definición?

Tenga en cuenta que normalmente nunca está interesado en $G_2(s)$ en el caso de un filtro que procesa señales discretas en el tiempo. solo te interesa $G_2(z)$ . Por lo tanto, no hay necesidad de alguna regla sobre cómo escribir $G_2(s)$ cuando $G_2(z)$ es conocida.

Sin embargo, en la mayoría de los casos, su señal digital representará una señal analógica. Ejemplo: Una señal de audio.

En este caso no te interesa como filtran algunos $G_2(z)$ está influyendo en la señal digital. No estás interesado en la señal digital en absoluto. Está interesado en cómo este filtro influirá en la señal analógica al final (por ejemplo, la señal de audio que sale de los altavoces).

Por lo tanto, calcula un filtro analógico. $G_1(s)$ que tendrá la misma influencia en la señal analógica que su filtro digital $G_2(z)$ tiene.

Sí, pero estoy preguntando sobre las características de los métodos de transformación. Si transformo G(s) en G(z), entonces ¿por qué usar la regla de Tustin o la regla rectangular directa en lugar de la definición? Creo que las reglas de integración son solo una aproximación a la definición.
Tus afirmaciones no son correctas. Puede usar una fórmula como G(z) = ... perfectamente bien en circuitos analógicos, está presente en circuitos cotidianos muy comunes y extremadamente precisos. Tal fórmula solo implica la discretización del tiempo, no implica nada "digital". ¿Supongo que has oído hablar de los circuitos de condensadores conmutados? La mayoría de los convertidores sigma-delta logran su precisión extremadamente alta a través de bucles de retroalimentación analógicos discretizados en el tiempo.
Contraejemplo de @EdgarBrown: se puede hacer un "efecto de eco" usando un DSP usando la siguiente función de transferencia: $G(z)=1+4400z$ . Todo lo que necesita son 17600 bytes de RAM, suponiendo un sonido con calidad de CD. Sé que se logró el mismo efecto usando cintas magnéticas en circuitos analógicos antes de que los efectos de sonido digital estuvieran disponibles comercialmente. Una cinta magnética no es una parte electrónica sino mecánica, y bastante costosa. Esto me indica que no es tan fácil, o incluso imposible, producir un retardo de señal analógica utilizando piezas electrónicas disponibles comercialmente.
En realidad, los retrasos analógicos son bastante comunes. Se les llama “hilos” o “líneas de transmisión” en algunos casos, o dispositivos electroacústicos en otros (parientes cercanos de los osciladores de cristal). Eche un vistazo a los filtros SAW, una forma muy común de implementar filtros FIR analógicos.
@MartinRosenau Mmmm... ese fue un ejemplo completamente continuo, pero también hay ejemplos de tiempo discreto. Están los ubicuos dispositivos de carga-cubo-brigada que nos rodean por todas partes. Se llaman "sensores CCD" que también se utilizan en audio. Yo mismo implementé una vez (hasta el silicio y las pruebas eléctricas) un ASIC de cascada de carga experimental como un proyecto de clase para la triangulación de ultrasonido completamente analógica.
@EdgarBrown Perdón por haber confundido los términos: al escribir "analógico" quise decir "tiempo continuo", al escribir "digital" quise decir "tiempo discreto". Me acabo de enterar de que inmediatamente antes de introducir retardos de tiempo basados en CPU, utilizaban circuitos analógicos de tiempo discreto similares a los circuitos integrados de cámaras CCD para producir retardos de tiempo de audio.
@EdgarBrown Edité mi respuesta por completo para aclarar lo que quise decir.

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