Método general para derivar la teoría del campo medio de una teoría microscópica

¿Cuál es la forma más general de obtener la teoría del campo medio de un hamiltoniano/acción microscópico? ¿Es la transformación de Hubbard-Stratonovich el único método sistemático? Si la respuesta es afirmativa, ¿qué requiere que nuestro parámetro de campo medio sea una cantidad bosónica? ¿Es la razón por la que todas las cantidades observables directamente físicas deberían conmutar?

Respuestas (2)

En la segunda cuantización, la aproximación del campo medio consiste en aproximar alguna combinación de operadores A por un C -número ⟨ A ⟩ . Por ejemplo, para Bose-Einstein condensado A = b 0 , para el emparejamiento de Cooper A = a pags ↑ a − pags ↓ , en la aproximación de Hartree-Fock A = a pags + a pags , en el estado de onda de densidad de carga A = a pags + q + a pags . Aquí a i y b i son operadores de aniquilación fermiónicos y bosónicos.

Lo mismo en la transformación de Hubbard-Stratonovich: podemos acoplar cualquier combinación deseada A de operadores de campo a campo auxiliar.

En todos los casos mencionados, A es de hecho bosónico. Dado que los operadores bosónicos pueden tener un gran número de ocupación ⟨ A ⟩ ≫ 1 , desviaciones de A de ⟨ A ⟩ puede ser relativamente pequeño, y también la no conmutatividad de A y A + puede ser descuidado (si tenemos la elección correcta de A ):

⟨ ( A − ⟨ A ⟩ ) 2 ⟩ ⟨ A ⟩ → 0 , ⟨ [ A , A + ] ⟩ ⟨ A ⟩ → 0.
Esto hace que la aproximación sea precisa.

Para cantidades fermiónicas A , la aproximación del campo medio no tiene mucho sentido porque el número de ocupación es limitado, ⟨ A ⟩ ∼ 1 . Por lo tanto, A será fuertemente fluctuante con respecto a ⟨ A ⟩ , y la aproximación será inexacta.

Actualización número 2 siguiendo la discusión en los comentarios.

El valor medio del operador fermiónico puede ser distinto de cero, ⟨ A ⟩ ≠ 0 solo en mezclas coherentes de diferentes números de fermiones en el sistema, por ejemplo | ψ ⟩ = α | norte ⟩ + β | norte + 1 ⟩ . En general, tales superposiciones de estados de momento angular enteros y semienteros están prohibidas por las reglas de superselección .

En cualquier caso, el promedio ⟨ A ⟩ de una cantidad fermiónica A es cero o permanece pequeño en el límite macroscópico, por lo que es un mal candidato para un parámetro de orden de campo medio.

Si A es fermiónico (impar) entonces ⟨ A ⟩ = 0 .
no entiendo porque Puede ser distinto de cero si el estado del sistema es una superposición coherente de estados con diferentes números de partículas, por ejemplo | ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ , ⟨ ψ | a | ψ ⟩ = α ∗ β .
sí, si permite mezclar estados fermiónicos y bosónicos. Pero tales superposiciones están prohibidas por una regla de superselección correspondiente. journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.88.101 : ignorar esto haría que la mecánica cuántica fuera inconsistente porque los estados pares e impares se transforman de manera diferente bajo una rotación de 360 ​​grados.
Sí, entendí el punto sobre la superselección de bosones y fermiones, pero creo que los estados con ⟨ a ⟩ ≠ 0 todavía son posibles en sistemas abiertos, por ejemplo, en un punto cuántico semiconductor acoplado a cables u otros puntos (como en los qubits de carga), donde el túnel hamiltoniano   | norte ⟩ ⟨ norte + 1 | + hc mezcla los estados con diferente número de electrones.
posiblemente. Tiene una referencia?
Sí, consulte, por ejemplo, la sección 2.1.3, página 21 aquí: iramis.cea.fr/drecam/spec/Pres/Quantro/static/wp-content/… O la sección 2.7.2 en la página 53 aquí: rsl.yale. edu/sites/default/files/files/RSL_Theses/… Por lo general, la incertidumbre cuántica del número de electrones en los puntos cuánticos está fuertemente dominada por las fluctuaciones térmicas. La suposición opuesta está en los qubits de carga superconductora iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/7/1/180 , pero, por supuesto, no es el caso de la mezcla de bosones y fermiones.
OK; la situación más simple es una trampa de electrones donde un electrón está presente solo con cierta probabilidad. Por supuesto, en esta y otras situaciones similares no hay simetría SO(3) y, por lo tanto, no hay regla de superselección.
edite su respuesta abordando parte de nuestra discusión, para que pueda votarla.
@AlexeySokolik El hamiltoniano de tunelización no crea superposiciones coherentes de estados con un número total diferente de fermiones. Estamos hablando de electrones aquí, después de todo, el número total siempre se conserva estrictamente (en un entorno de baja energía). En el mejor de los casos, puede crear (localmente, por ejemplo, al mirar solo un punto cuántico) una mezcla incoherente de estados de números de fermiones, pero un operador fermiónico aún tendrá un valor esperado que se desvanece en tal estado.
@Mark Mitchison Creo que tiene razón: la superposición es realmente incoherente. He editado mi respuesta en consecuencia. Pero en este caso no entiendo por qué todo el mundo habla de superposiciones coherentes de norte y norte + 1 Pares de Cooper en cajas individuales de pares de Cooper.
@Mark Mitchison Sí, aunque sé que hay cierta discusión sobre cómo definir correctamente el parámetro de pedido en este caso. Si el número total de pares de Cooper en la caja + reservorio se conserva estrictamente, entonces ⟨ Ω norte | Ω norte − 1 ⟩ debe ser cero.
@AlexeySokolik Lo siento, estaba tratando de editar mi comentario después del estúpido límite de 5 minutos y ahora perdí mi texto. Tiene razón en que la superposición entre estados fundamentales con distintos números de partículas debe desaparecer. Quería corregirme para decir que eso Ω norte − 1 de hecho, no es el estado fundamental, es lo que obtienes después de extraer un par de Cooper del estado fundamental Ω norte (es decir, un estado excitado que no es un estado propio de energía, en general). No hay razón para que desaparezca la superposición entre esto y el estado fundamental superfluido.

En realidad, Wikipedia tiene una respuesta para su pregunta,

https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_field_theory

que le indicará cómo construir una aproximación de campo medio de forma coherente basada en la desigualdad de Bogoliubov.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Si desea conocer más detalles sobre la desigualdad fundamental, puede leer el libro, Mecánica estadística: un conjunto de conferencias, escrito por Feynman.

Espero eso ayude.

Gracias, Entonces el campo medio aprox. es simplemente equivalente al método variacional, es decir, elegir la función de onda de modo que el valor esperado del hamiltoniano sea lo más pequeño posible. Y esto puede describir por qué tanto el modelo de campo medio de Bogoliubov como la función de onda variacional BCS dan el mismo resultado en la teoría de la superconductividad.
En mi opinión, la aproximación del campo medio es solo un método que nos permite desacoplar el problema de muchos cuerpos que interactúan en un problema efectivo de muchos cuerpos que no interactúan, que en realidad es un problema de un solo cuerpo. el método dejará caer la física esencial por lo que no funciona bien.
Método general para derivar la teoría del campo medio de una teoría microscópica
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