Mejor explicación de la ilustración de la relatividad general común (hoja de tela estirada)

Tiene toda la razón en que la metáfora es engañosa y, de hecho, encontrará que los relativistas profesionales tienden a despreciarla. Hay una serie de problemas con él, de los cuales el problema que mencionas es solo uno. Por ejemplo, el diagrama implica que solo se dobla el espacio, mientras que la flexión es del espacio- tiempo, por lo que el tiempo también se dobla. El diagrama también implica que hay una tercera dimensión fuera del plano en el que se produce la flexión. Aplicado a nuestro espacio-tiempo 4D, esto significaría que tendría que haber una quinta dimensión para que el espacio-tiempo se doble, pero este no es el caso y el tipo de flexión que ocurre se llama curvatura intrínseca y no necesita dimensiones adicionales.

El problema es que GR es muy, muy poco intuitivo. Si desea saber más que las pistas sugeridas por la metáfora de la hoja de goma, el único camino es arremangarse y comenzar a aprender las matemáticas.

Sería bueno que hubiera algún curso intermedio entre la engañosa pero simple metáfora de la hoja de goma y las matemáticas, pero no sé nada. Creo que el problema es que no llegarás a ninguna parte sin entender primero la invariancia de coordenadas y esta es una idea muy difícil de entender. Si realmente desea obtener más información, comenzaría con la relatividad especial, ya que contiene las semillas de las ideas que necesitará.

Respuesta al comentario:

En su edición, dice que la flexión del espacio-tiempo simplemente no puede afectar a dos objetos que no se mueven . Supongo que estás pensando en objetos que ruedan sobre una superficie curva como se muestra en las metáforas comunes de GR. Entonces, la pregunta es por qué los objetos que no están rodando deberían experimentar una fuerza.

La razón de esto es que un objeto aparentemente estacionario se mueve porque se mueve en el tiempo. Para las velocidades tridimensionales habituales que vemos a nuestro alrededor, describimos la velocidad como un vector tridimensional$\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$. Pero recuerda que el espacio-tiempo es cuatridimensional, y la velocidad de los objetos en relatividad es un cuadrivector llamado cuadri-velocidad que incluye el cambio en la coordenada del tiempo. La razón por la que un objeto estacionario experimenta una fuerza es que la coordenada del tiempo se curva al igual que las coordenadas del espacio. Esto me lleva de vuelta a una de mis críticas a la analogía de la hoja de caucho, es decir, que no puede mostrar que la coordenada temporal es curva al igual que las coordenadas espaciales.

A riesgo de volverse repetitivo, es difícil explicar por qué la curvatura en el tiempo causa la fuerza sin entrar en las matemáticas. La explicación más simple que he visto está en la respuesta de twistor59 a ¿Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general? . Esto muestra, con un mínimo de álgebra, por qué un objeto estacionario en un campo gravitatorio experimenta una fuerza.

Me encontré con esta excelente fuente mientras navegaba por una pregunta relacionada con Physics SE.

La analogía que allí se presenta es algo similar a la de la lámina de goma, pero elimina el peso en el centro.

Imagine una capa esférica 2D incrustada en un espacio 3D. Dos personas están ubicadas una al lado de la otra en el ecuador de esta esfera. Ambos comienzan a caminar paralelos, "hacia el norte" hacia uno de los polos. Inicialmente parecerá que están caminando en paralelo, pero finalmente se encuentran en el polo norte. Es decir, sus caminos se cruzan. Las dos personas podrían interpretar su cercanía como resultado de alguna "fuerza", cuando en realidad la geometría del espacio en el que viven hizo que se acercaran más.

¿Está familiarizado con el problema de las proyecciones de mapas? Cada mapa de la Tierra necesariamente distorsionará sus características. La superficie de la tierra es intrínsecamente curvada. Entre otras cosas, en el caso específico de la Tierra, esto significa que no hay líneas paralelas.

En un globo, la distancia más corta entre dos puntos no es una línea recta a través de la tierra, tales líneas no están permitidas, uno debe permanecer en la superficie. Intersecta un plano con el globo que pasa por el centro y los dos puntos en cuestión. La parte del círculo intersecada en la superficie te da el camino más corto. Estas son las "líneas" o, más generalmente, Geodésicas, ya que se aplican a la superficie de una esfera.

Como sucede, dos geodésicas en la superficie de la tierra eventualmente se cruzarán. Esto es intrínseco a la geometría en la superficie de un globo.

Así como el globo se curva de esta manera, la masa distorsiona el espacio que lo rodea, creando una curvatura intrínseca. Así como las líneas de longitud se cruzan en los polos, las geodésicas en el espacio-tiempo curvo no se mantienen separadas por la misma distancia. Estas geodésicas son las trayectorias de objetos en caída libre. Entonces, al igual que las hormigas que siguen líneas arbitrarias de longitud eventualmente se cruzarán en los polos, los objetos en caída libre se acercarán a un objeto masivo.

Esto es lo que significa que la gravedad es una propiedad geométrica del espacio-tiempo 4d, las geodésicas se distorsionan del espacio plano de tal manera que se acercan. Las geodésicas son caminos de inercia, por lo que los objetos caen hacia el centro.

El espacio es invisible y 4D es difícil de imaginar, pero incluso cuando es matemáticamente preciso, esta unión de geodésicas es la característica en juego.

No hay problema con la analogía cuando se establece correctamente, y no he visto un solo libro de texto de relatividad general que finja que la curvatura es similar a una hoja física que se dobla debido a un peso, o que las cosas que se mueven en las geodésicas son similares a las cosas que ruedan. abajo una hoja tan física. Tal vez haya libros de divulgación científica que digan esto, no lo recuerdo.

La razón por la que la analogía es buena es porque la curvatura es la distorsión de las distancias, por lo que algo puede ser más grande por dentro. La mejor manera de mostrar esto en una hoja 2d sin dibujar ejes ondulados es doblarlo externamente, y exactamente las mismas matemáticas: cosas como que el área es mayor que$\frac1{4\pi}$el cuadrado de la circunferencia, o los ángulos en un triángulo que no suman 180 se le aplica. La analogía es entonces una visualización de la ecuación geodésica, que es que el material sigue el camino del mayor intervalo de espacio-tiempo (convención similar al espacio).

El único problema que tengo con las representaciones tradicionales de esta analogía es que solo muestran la curvatura del espacio y la llaman curvatura del espacio-tiempo. Para mostrar la curvatura del espacio-tiempo, debe mostrar la línea de universo completa del objeto gravitante y la curvatura a su alrededor. Sin embargo, esto no es de mucha utilidad, ya que la curvatura en 1 dimensión espacial es poco convincente, por lo que debería llamarla simplemente la curvatura de un corte/sección transversal similar al espacio del espacio-tiempo.

Estoy de acuerdo en que es una analogía terrible, pero que requiere poca imaginación por parte del espectador.

Una mejor representación se encuentra en la portada de 'Gravitation' de Misner, Thorne y Wheeler. Es uno de los mejores que he visto y muestra claramente la curvatura que conduce a la 'gravedad'. (Creo que el comentario significa que la imagen está cubierta por uso justo, pero... la misma imagen se puede ver buscando el libro en Amazon)

No es demasiado difícil visualizar el espacio-tiempo curvo dimensional local (3+1): imagine 2 bancos de cañones en ángulo recto disparando una salva desde el borde de un acantilado. Los caminos de las balas de cañón son geodésicas. Muestra claramente que es el espacio-tiempo el que es curvo, no (tanto) el espacio. Lamentablemente no tengo una imagen a la mano.