Mecánica cuántica del principio variacional: la función de onda de prueba no se expresa en base a funciones propias

Estoy aprendiendo sobre el método de variación para resolver problemas de mecánica cuántica. El principio es que las funciones propias minimizan el valor esperado del hamiltoniano en ese estado (siempre que Ψ está normalizado):

mi 1 ≤ ⟨ Ψ | H | Ψ ⟩ ,

con significado de igualdad Ψ = Ψ 1 . Los siguientes estados propios se encuentran secuencialmente al notar que mi norte seguirá siendo un mínimo local y Ψ norte será ortogonal a todos los autoestados encontrados previamente.

El profesor hizo la derivación para mi 1 en la clase. Su argumento fue: Ψ norte formará una base para cualquier solución de prueba Ψ . Así usando el truco de Fourier podemos encontrar una expansión para Ψ en la base Ψ norte con coeficientes b norte . Entonces el valor esperado de energía para la prueba es

| mi | = ∑ | b norte | 2 mi norte .

Claramente, el más pequeño mi norte es mi 1 , por lo que el más pequeño | mi | es mi 1 , y los coeficientes son | b 1 | = 1 y | b norte | = 0 para todos los demás norte .

Pero, ¿qué sucede si tomo una función de onda de prueba que no se puede expresar en esta base? Por ejemplo, digamos que tengo un pozo cuadrado de 0 a L y tengo una función de texto que está normalizada pero distinta de cero en algún lugar con X > L . Obviamente, esta es una función de prueba estúpida y no es una solución posible. no seré capaz de encontrar | mi | para comprobar si el funcional está minimizado. Pero, ¿qué parte de las matemáticas anteriores se descompondrá? ¿Dónde dice el principio variacional, por ejemplo, que además de ser normalizable, la función de prueba debe ser cero en las regiones no permitidas por la mecánica cuántica?

Respuestas (1)

La derivación del profesor muestra que cualquier solución de prueba tendrá una energía mayor que la energía del estado fundamental correspondiente al estado propio de energía más bajo. Pero el hecho de que la energía del estado fundamental sea menor que la de cualquier función de prueba puede incluso tratarse como una definición. Si existe una energía más baja y una función de onda de energía más baja, por supuesto, todas las demás funciones de onda proporcionarán un límite superior en esa energía más baja.

El objetivo es probar muchas soluciones de prueba con el objetivo de acercarse a la energía del estado fundamental. Cada solución de prueba proporciona un límite superior.

Probar cualquier función de onda de prueba que sea distinta de cero cuando V = ∞ agregará energía no deseada. Por el método variacional, simplemente preferiría una función de prueba de menor energía, que siempre puede lograr moviendo esa parte de la función de onda de prueba a un lugar donde V es finito

La derivación del profesor fracasó porque consideró una función de onda de energía infinita. El principio variacional evita valores distintos de cero V = ∞ funciones de prueba porque (como usted señaló) dichas funciones serían obviamente improductivas en la formación de límites superiores para el estado de energía fundamental.

Hay dos formas de verlo. Una es decir que la razón por la que la función de onda tiene que desaparecer fuera de la región es que el potencial es infinito allí, en cuyo caso su intento claramente falla en minimizar la energía porque tiene energía infinita. Alternativamente, se puede declarar por decreto que el universo del problema es solo la región y, por lo tanto, no tiene sentido tener una función de onda fuera de esa región. Si desea un punto discreto donde las matemáticas fallan, puede decir que el hamiltoniano no está definido en esa región, por lo que cuando va a evaluar la función de onda, falla.
Mecánica cuántica del principio variacional: la función de onda de prueba no se expresa en base a funciones propias
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