¿Estados inestables y energía imaginaria (compleja)?

Como nadie responde a esto, le daré un golpe.

Un hamiltoniano hermitiano da una evolución unitaria. El operador de evolución es

$$U(t) = \exp[-i\Omega t]$$

dónde$\Omega \equiv H/\hbar$. La cosa en el exponente es anti-hermítica debido a la$i$frente al hamiltoniano. Cuando exponencias un operador anit-hermitiano, obtienes uno unitario, como explicaré ahora.

Dejar$|\Psi'\rangle= \exp[-ih]|\Psi\rangle$y deja$|\Phi'\rangle= \exp[-ih]|\Phi\rangle$. nosotros calculamos

$$\begin{equation} \langle \Phi'|\Psi'\rangle = \langle\Phi|e^{ih}e^{-ih}|\Psi\rangle = \langle\Phi|\Psi\rangle. \end{equation}$$ Dado que el operador $e^{ih}$conserva el producto interior, es unitario por definición.

Entonces, como dijiste, los hamiltonianos hermitianos dan una evolución unitaria. La cuestión es que, si consideras solo subsistemas de un sistema físico completo, la evolución no es unitaria. Por ejemplo, si estamos estudiando una partícula en una caja, podría existir la posibilidad de que la partícula salga de la caja, en cuyo caso nuestra suposición de que la partícula está en la caja es incorrecta. Puede explicar esto insertando manualmente una función decreciente en el operador de evolución

$$U(t) = e^{-t\Gamma}e^{-i\Omega t}.$$

Aquí$1/\Gamma$es una constante de tiempo de caída exponencial que suprime la magnitud de la función de onda (o vector de estado, lo que sea). Es conveniente simplemente escribir esto como un solo exponencial:

$$U(t) = \exp[-i(\Omega - i\Gamma)t].$$

Esto puede interpretarse como$\Omega\rightarrow\Omega-i\Gamma$que parece un hamiltoniano no hermitiano. De hecho, si toma el punto de vista de que el hamiltoniano es lo que genera la evolución del tiempo, entonces el hamiltoniano no es hermitiano para este subsistema. Esto no contradice la idea de que el hamiltoniano de un sistema físico debe ser hermitiano, porque estamos haciendo un caso especial en el que estamos tratando con un subsistema y estamos encapsulando el efecto del entorno exterior (en el que nuestra partícula puede escapar) usando un hamiltoniano no hermitiano.

por supuesto, al final, la mayoría de los sistemas en estudio no están completamente aislados de otros grados de libertad, por lo que en la vida real la noción de hamiltoniano no hermitiano es extremadamente útil.

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Imagine que tiene dos sistemas de 2 niveles que interactúan entre sí a través del siguiente hamiltoniano (en este punto, estoy quitando dimensiones de las cosas por descuido):

$$H = \left[ \begin{array}{cccc} 0&0&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right]$$ donde el orden de los vectores base es $\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}$. Supongamos que esta interacción está en su lugar por un tiempo $t$. Entonces el operador de evolución es

$$U(t) = \left[ \begin{array}{cccc} 0&0&0&0 \\ 0&\cos(t)&-i\sin(t)&0 \\ 0&-i\sin(t)&\cos(t)&0 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right].$$

Supongamos que ahora "olvidamos" que el segundo de los dos sistemas de dos niveles existe, convirtiéndolo así en un "entorno" del primer sistema de dos niveles. En esta condición, nuestro sistema de 2 niveles restante no puede representarse mediante un vector de estado; tenemos que usar una matriz de densidad. Supongamos que el estado inicial es

$$|\Psi(0)\rangle = \left[\begin{array}{c} 0\\1\\0\\0 \end{array}\right].$$ Luego, después de un tiempo $t$el vector de estado es $$|\Psi(t)\rangle = \left[\begin{array}{c} 0\\\cos(t)\\-i\sin(t)\\0 \end{array}\right].$$ La matriz de densidad del sistema completo es $$\rho = \left[ \begin{array}{cccc} 0&0&0&0 \\ 0&\cos(t)^2&i\sin(t)\cos(t)&0 \\ 0&-i\cos(t)\sin(t)&\sin(t)^2&0 \\ 0&0&0&0 \end{array} \right].$$ Para encontrar la matriz de densidad del subsistema que consta solo del sistema de 2 niveles restante, rastreamos el subespacio de la partícula "perdida", que deja $$\rho_{\text{subsystem}} = \left[ \begin{array}{cc} \sin(t)^2&0 \\ 0&\cos(t)^2 \end{array}\right]$$ donde aquí se ordenan los estados $\{|0\rangle, |1\rangle\}$.

En primer lugar, tenga en cuenta que no puede obtener esta evolución de un hamiltoniano normal. El estado viaja de un polo al otro de la esfera de Bloch, pasando por el centro de la esfera. Esto es imposible para un estado puro bajo evolución unitaria. También tenga en cuenta que la matriz de densidad siempre es diagonal, lo que significa que la información que tenemos sobre nuestro subsistema es siempre clásica . Esto es típico de los casos en los que nos falta una parte de un sistema entrelazado (de hecho, se argumenta que esta es la esencia de la transición cuántica a clásica).

Esta es una demostración de cómo obtienes una evolución no unitaria si observas solo un subsistema del sistema cuántico completo.