Importancia de los valores propios cero y distintos de cero de la matriz de densidad

¿Qué podemos decir sobre el estado cuántico a partir del número de valores propios cero y distintos de cero de la matriz de densidad correspondiente? ¿Algo relacionado con el enredo o cualquier otra propiedad? ¿Varían con la naturaleza de los estados, ya sea puro o mixto?

Por favor agregue algunas referencias.

Entiendo que estás hablando de un estado mixto. ρ , y su matriz de densidad? Estos valores propios no tendrán nada que ver con el entrelazamiento. --- Por otro lado, si tiene un estado puro con dos partes y considera la matriz de densidad reducida de una parte, sus valores propios le dirán algo. sobre el enredo.
@NorbertSchuch: no sé quién me dio el -1, pero la respuesta es correcta. Para partículas entrelazadas idénticas, el espín total cero implica una alta simetría.
@Dutta: tu suposición es correcta. Por favor, vea mi respuesta. No sé por qué hay un -1.
@Sofia: Por lo que puedo ver, la pregunta se refiere a los valores propios del operador de densidad (que es el caso de un estado puro sería | ψ ⟩ ⟨ ψ | , y por lo tanto siempre tendría un valor propio uno y el resto ceros. No veo cómo el giro está relacionado con eso. ¿Pero tal vez Dutta podría ayudar a aclarar la pregunta?
@NorbertSchuch: entiendo lo que dices. Creo en efecto que ella cometió un error. Bueno, le hago una pregunta a Dutta. Lo siento mucho, si la pregunta fue que la entendí (probablemente mal), era una pregunta interesante. Retiro mi respuesta por el momento, hasta que se aclare.
@NorbertSchuch & Sofia Considere tanto los estados puros como los mixtos. He editado la pregunta en consecuencia.
Todavía no estoy seguro de lo que estás pidiendo. Pero para cualquier estado puro, los valores propios del operador de densidad son 1 (con multiplicidad 1) y 0, por lo que te dicen si el estado es puro y nada más. De manera más general, los valores propios de la matriz de densidad reducida le dirán algo. sobre la cantidad de mezcla, pero nada sobre el enredo. --- Pero si quieres más detalles, deberías tratar de elaborar más tu pregunta y tratar de ser más formal.
@Dutta, no estoy seguro de cuál de las siguientes dos preguntas hace: 1) tomando la matriz de densidad como la matriz que representa algún operador , sugiere calcular sus valores propios, algo que no tiene mucho interés en QM en lo que a mí respecta saber; 2) sabiendo que la matriz de densidad corresponde a algún estado propio de algún observable, para el valor propio cero, pregunta si el valor propio cero sugiere un posible entrelazamiento (si el estado es para dos partículas o más). Mi respuesta fue para el segundo caso. Ahora, los estados mixtos no ayudan mucho con esta falta de claridad.
@Sofia: los espectros de matrices de densidad son interesantes si esta matriz de densidad describe una parte de un estado globalmente puro (por ejemplo, dado un estado entrelazado puro de dos espines, podríamos considerar el estado mixto que describe uno de los espines). El espectro de la matriz de densidad reducida permite entonces cuantificar el entrelazamiento en el estado.
@NorbertSchuch: solo podemos hablar mañana después del mediodía, tengo que prepararme, se anunció mal tiempo.

Respuestas (1)

¿Qué podemos decir sobre el estado cuántico a partir del número de valores propios cero y distintos de cero de la matriz de densidad correspondiente?

El número de valores propios cero no tiene importancia y, de todos modos, no está bien definido.

Si el número de valores propios distintos de cero no es uno, entonces hay muchas formas diferentes de escribir la matriz de densidad ρ como una descomposición coherente de la forma ρ = ∑ k pag k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | con ⟨ ψ k | ψ k ⟩ = 1 y pag i ≥ pag j ≥ 0 para i ≤ j . Sip ⟨ ψ i | ψ j ⟩ = d i j , entonces esta descomposición es una descomposición propia . Porque ρ es hermítica y positiva, una descomposición propia es también una descomposición en valores singulares y, por lo tanto, describe todas las aproximaciones óptimas de bajo rango (con respecto a la norma euclidiana) de forma sucinta. Por lo tanto , algunas comunidades a veces denominan descomposición coherente óptima a esta descomposición.

Más pragmáticamente, recientemente expliqué esto de la siguiente manera :

Para cálculos prácticos, uno puede simplemente descomponer la matriz de densidad en una suma de estados puros. La forma óptima de hacer esto (es decir, que obtenga el menor error por el número de estados puros que utiliza) es la descomposición coherente óptima, en la que calcula la descomposición de valores propios de la matriz de densidad. La dinámica de las ecuaciones de Schrödinger es tal que cualquier descomposición sigue siendo válida (y óptima) durante la propagación del tiempo, es decir, puede propagar cada estado puro individual.

La última oración de esta explicación pragmática supone que ⟨ ψ i ( t ) | ψ j ( t ) ⟩ = ⟨ ψ i ( t 0 ) | ψ j ( t 0 ) ⟩ se conserva durante la propagación del tiempo, lo cual es válido para sistemas "cerrados".

¿Algo relacionado con el enredo o cualquier otra propiedad? ¿Varían con la naturaleza de los estados, ya sea puro o mixto?

Como señalaron otros, un estado enredado también es un estado puro. Si calcula una traza parcial sobre un estado entrelazado, obtiene un estado mixto, pero esto no está realmente relacionado con la descomposición propia. Sin embargo, esta es una observación interesante, porque la descomposición coherente óptima para el subsistema correspondiente no se conservará en general durante la propagación del tiempo y, por lo tanto, puede haber algún tipo de salto cuántico desde la perspectiva del subsistema en términos de la descomposición coherente óptima. descomposición. Pero la descomposición coherente óptima sólo es única si pag i > pag j ≥ 0 para i < j de todos modos.

Gracias. No creo que el número de valores propios cero no tenga importancia. Pero no conozco mucho este tema.
El número de valores propios cero ciertamente está bien definido, porque los valores propios de cualquier matriz están bien definidos. Eso no significa que una descomposición en estados puros deba estar bien definida (no lo está, si los estados no son ortogonales o los valores propios tienen multiplicidades).
@Martin Bueno, podría decir que hay exactamente un valor propio cero, a saber, "0", o podría decir que hay infinitos valores propios cero (porque las relaciones canónicas del conmutador solo pueden satisfacerse en un espacio de Hilbert de dimensión infinita ), pero ambas respuestas son bastante inútiles. Eso es lo que quiero decir con "El número de valores propios cero no tiene importancia". Puede objetar que el número de valores propios distintos de cero también es infinito. Sin embargo, si estamos satisfechos con una cierta precisión (digamos 1%), entonces un número "bien definido" de valores propios distintos de cero es suficiente para obtener esa precisión.
Por ejemplo, un láser ArF de 193 nm produce luz casi monocromática no polarizada con un pequeño ancho de banda estrecho de alrededor de 193,3 nm. Se necesitan al menos dos valores propios para modelar la luz no polarizada. Si necesita valores propios adicionales para modelar la luz casi monocromática (o su ancho de banda muy estrecho) depende de lo que haga con ella. Si lo derramó de tal manera que viaja por caminos completamente diferentes, entonces necesita valores propios adicionales para él. Si la pequeña diferencia en la longitud de onda nunca tiene consecuencias apreciables, tampoco es necesario modelarla mediante valores propios adicionales.
Importancia de los valores propios cero y distintos de cero de la matriz de densidad
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