¿Cómo conectar estas dos formulaciones sobre la necesidad de una matriz de densidad en la mecánica cuántica?

$\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \rvert}\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}\newcommand{\H}{\mathcal{H}}\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$La conexión entre subsistemas y conjuntos estadísticos es simple: entrelazamiento .

El entrelazamiento es el fenómeno de que un estado cuántico de un sistema más grande no necesita (pero puede) corresponder a estados de subsistemas especificados de manera única. Formalmente, los sistemas dados$A,B$con espacios de estados$\H_A,\H_B$y bases$\{\ket{a_i}\},\{\ket{b_j}\}$, que se combinan a un sistema con espacio de estados$\H_{AB} := \H_A\otimes \H_B$, los estados que sí corresponden a estados únicos de los subsistemas (los estados no entrelazados o separables ) son aquellos que son tensores simples, es decir, de la forma$\ket{\phi}\otimes\ket{\psi}\in\H_{AB}$para$\ket{\phi}\in\H_A,\ket{\psi}\in\H_B$.

Si ahora se nos da un estado arbitrario del sistema combinado,$\ket{\chi}\in\H_{AB}$, ¿qué podemos decir sobre el estado de$A$? Si el estado no es separable, no podemos obtener un estado puro para$A$. Pero, sin embargo, deberíamos ser capaces de "olvidar" el sistema más amplio y restringir nuestras consideraciones a$\H_A$(por ejemplo, porque sabemos que no interactuará con$\H_B$además, porque sólo podemos medir el sistema$A$pero no$B$, o lo que sea). La forma en que esto se hace es mediante la traza parcial ¹ sobre$B$aplicado a la matriz de densidad$\rho_{AB} = \ket{\chi}\bra{\chi}$:

También pasa al revés. A partir de un estado mixto, es decir, un conjunto de probabilidades$p_i$estar en$\ket{a_i}\in\H_A$, podemos purificar el estado , es decir, construir un espacio artificial más grande${\H}$en el que es un estado puro enredado: simplemente "cuadramos" el espacio, es decir$\H := \H_A\otimes\H_A$y definir$\ket{\chi'} := \sum_i\sqrt{p_i}\ket{a_i}\otimes\ket{a_i}$. Comparado con$(1)$, vemos eso$c_{ij} = p_i\delta_{ij}$, y entonces$p(\ket{a_i}) = p_i$. Por tanto, hemos construido un estado entrelazado puro que devuelve el estado mixto original al volver al subsistema.

En total, hemos visto la equivalencia de "tener un estado mixto" y "considerar un subsistema de un sistema más grande".

¹ Por qué la huella parcial nos da el subsistema se sigue de su definición, si está convenientemente escrita, pero radica en que se reproduce$(1)$, que es simplemente la forma estadísticamente correcta de "no preocuparse" por el estado de$B$:

Considera escribir$\H_B = \bigoplus_j \mathbb{C}(\ket{b_j})$, que es simplemente la afirmación de que el$\ket{b_i}$son una base ortogonal, y por lo tanto$\H_{AB} = \bigoplus_j (\H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_j}$. Entonces, cada operador$T : \H_{AB}\to\H_{AB}$se descompone en la suma directa de operadores$T_{kl} : \H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_k} \to \H_A \otimes \mathbb{C}\ket{b_l}$. Queremos que aquellos operadores que actúen sólo sobre$\H_A$, ya que queremos olvidarnos de$B$. Estos son exactamente los que tienen$k = l$, y los sumamos para obtener el operador parcialmente rastreado en$\H_A$:

En general, las partes de un sistema cerrado más grande están correlacionadas, por lo que si observa solo una parte, sus predicciones de medición coinciden con las obtenidas si esta parte está en un conjunto estadístico, es decir, está mezclada.
Yo no diría que estas dos formulaciones son equivalentes, por ejemplo, para que un sistema esté en un estado mixto no necesitas la existencia de un sistema mayor, que contenga el tuyo como parte.

Matemáticamente, Norbert Schuch señaló la "purificación de estados cuánticos": dado un conjunto en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$, siempre puedes escribirlo como un estado puro en un espacio más grande$\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}^{\prime}$tal que la restricción del estado puro a$\mathcal{H}$da como resultado la descripción del conjunto.

Tal vez haya una segunda y algo "dual" descripción de esto: Dada una matriz de densidad para un conjunto estadístico, esto sería lo mismo que decir que tengo un estado, pero no sé exactamente cuál de varios estados es es; de esta manera, un conjunto de estados puros se describe de la misma manera que un estado, donde tenemos cierta ignorancia acerca de qué estado es en realidad. Ahora, dado un sistema como parte de un sistema cerrado más grande, nos enfrentamos a una ignorancia similar: no tenemos todo el sistema, por lo que localmente, parece que no está claro en qué estado se encuentra el sistema, por lo que tal estado restringido será parecer un conjunto.