Solución de Schwarzschild

Estoy calculando durante muchas horas y estoy realmente confundido con este ejercicio.

Considere un observador comóvil sentado en coordenadas espaciales constantes$(r∗,θ∗,φ*)$, alrededor de un agujero negro de masa de Schwarzschild$M$. El observador deja caer una baliza en el agujero negro (directamente hacia abajo, a lo largo de una trayectoria radial). La baliza emite radiación a una longitud de onda constante.$λ_{\mathrm{em}}$(en el marco de descanso de la baliza).

Del libro de Schutz, creo que "comomovimiento" podría estar mal, porque solo es cierto cuando el objeto vuela sobre una geodésica que tiene que ser un círculo y eso no está garantizado.

La métrica de Schwarzschild:

$$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+(1-2M/r)^{-1}dr^2+r^2d\Omega$$

Traté de resolver esto de esta manera:

En los observadores MCRF, tiene las cuatro velocidades:

$$U_{\operatorname{obs}}=\vec{(1,0,0,0)}$$

Ahora calculamos la energía del objeto por el observador:

$$E/m=\bar{E}=-U_{\mu}^PU^{\mu}_{\operatorname{obs}}=-U_{0}^P$$

con$U^p$la velocidad del objeto medida por el observador. Entonces encontramos

$$U_{0}^P=-g^{00}\bar{E}=\dot{t}$$

La última equiparación se puede mostrar con respecto al tiempo propio.

El otro componente se sigue de:

$$U_{\mu}^PU^{\mu}_P=-1$$

A partir de esta ecuación se puede calcular:

$$(U^r)^2=-(1-2G/R)+\bar{E}$$ algo como eso…

Pero ahora tengo una pregunta.

Estoy en el MCRF del observador, por lo tanto, un sistema inicial local con una métrica plana. Pero en este punto utilicé la métrica de Schwarzschild, no la de Minkowski. Pensé que puedes hacer esto, porque la métrica de Schwarzschild es válida allí en todos los puntos. Y cuando usas el de Minkowski, obtienes que la velocidad se vuelve infinita en$r =2M$y esto está mal